Demonstration par recurrence

[kantibo]

Bonsoir.
Voilà, j’ai un problème avec une démonstration par recurrence :
Quelque soit

J’ai vérifié pour , ensuite j’ai supposé que c’est vrai au rang enfin j’ai voulu démontrer que c’est vrai au rang . C’est là que j’ai un problème.
J’ai d'abord commencé par écrire = x . Donc, si , on a . Ensuite j’ai essayé de montrer que . Et c’est là que je bloque. Pour essayer d’y remedier, j’ai essayé d’utiliser à nouveau la récurrence mais j’y suis pas arrivé. J’ai ensuite essayé de montrer que la soustraction est positive ( quelque soit ) mais j'ai pas réussi.
Merci d'avance.

[chan79]

salut
C'est sans doute possible par récurrence.
Sinon, l'inégalité demandée équivaut à:


soit


vois les variations de --->

[bolza]

Bonjour,

Tu peux aussi passer par la fonction racine cubique
(encore faut-il justifier que la fonction est croissante).
Sinon on y arrive aussi en développant (n+1)^3 et en utilisant le fait que
si et alors

Remarque : l'inégalité est vrai à partir de 3.

[Ben314]

...Ensuite j’ai essayé de montrer que .

A mon avis, c'est plutôt ça qui est attendu.
Si tu développe (en deux fois), tu obtient que
donc il faut montrer que .

Or donc il suffit de montrer que
Mais, comme , on a donc il suffit de montrer que

etc..

et une fois que tu as compris le principe, tu peut même tout écrire sur une seule ligne :

[chan79]

Autre approche
L'égalité est vraie pour
on suppose:
Il faut démontrer:


on sait que:


il est suffisant de démontrer :

ou

ou


ce qui est bien vrai puisque

[bolza]

Or donc il suffit de montrer que
Mais, comme , on a donc il suffit de montrer que

etc..

et une fois que tu as compris le principe, tu peut même tout écrire sur une seule ligne :

personnellement j'aurai plutôt posé dès le début et montré
d'une part et d'autre part et donc ...

Mais bon effectivement les façons de faire sont nombreuses ^^

[Ben314]

Oui, en s'inspirant de la méthode de Chan, mais en restant "polynomial", on peut aussi écrire que
pour
Et, vu la décroissance évidente de , il suffit de vérifier que ça marche pour (voire )

[kantibo]

daccord tout le monde. J'ai bien compris toute vos suggestions. Merci beaucoup à vous tous et bonne continuation.