Petit problème de géométrie

[Olex]

Bonjour à tous,
Voici, un petit problème de géométrie auquel je n'ai jamais trouvé la solution.
On a un point D à l'intérieur d'un triangle équilatéral ABC.
De sorte que,
AD=5cm
BD=4cm
CD=3cm
Quel est l'aire du triangle ABC ?
Merci de votre aide.

[chan79]

Avec la formule de Héron, peut-être.
Nomme a la mesure de chaque côté de ABC.

[Ben314]

Salut,
Si on a un triangle équilatéral de coté et un point tel que , et alors


A toi de jouer...

[chan79]

Il semble qu'une méthode assez simple consiste à placer l'image de D par la rotation de centre A qui transforme B en C. J'ai bêtement nommé cette image E'.
On se retrouve comme par hasard avec un triangle rectangle DCE'.
Pour avoir AC², il n'y a qu'à utiliser le théorème d'Al Kashi dans ACE'.
L'angle AE'C est la somme d'un angle de 60° et d'un angle dont on a le sinus et le cosinus avec le triangle rectangle.
On arrive à une aire de

Si, au lieu de 5, 4, 3, on prend 5, 4 ,2, on y arrive aussi puisqu'on peut avoir le cosinus avec Al Kashi.
On arrive à une aire de

[Olex]

Merci pour ces réponses,
Les trois semblent donner le même résultat (heureusement )
Mais, je trouve la dernière beaucoup plus élégante.
Ben314 pourrais tu me dire d'où tu sors cette formule:

[Ben314]

J'y suis allé totalement à la bourrin :
Si tu écrit que alors
donc
De même implique que
De même implique que
Ensuite, et te donnent deux équations linéaires en et (à coefficients "réellement" constant) qui te permettent de les déterminer en fonction de et il n'y a plus qu'à réinjecter ça dans n'importe laquelle des 3 pour obtenir une équation bicarré en dont la solution est celle ci dessus et dans laquelle apparait "magiquement" la formule de Héron donnant la surface du triangle de cotés (le terme avec la racine).

EDIT :
En fait, si on note la surface du triangle équilatéral (ABC), les surfaces des trois triangles équilatéraux de cotés respectifs et celle du triangle de cotés , alors on a :

Et ça se "lit" directement sur une figure sur laquelle on fait 3 rotations comme celle de chan79 pour faire apparaitre à la fois et (le triangle ACA' est isométrique à ABD, idem pour les deux autres et ça explique que la surface totale coloriée soit le double de celle du triangle ABC)

[Imod]

Bonjour à tous

C'est un problème qui revient trop souvent avec des côtés 345 pour faire son Pythagore

Quelques exemples de solutions http://www.forum.math.ulg.ac.be/viewthread.html?SESSID=c556c43f9d1dbc7368c72d9dcba46d1d&id=54143

J'en ai proposé deux vers la fin .

Imod

[chan79]

La démonstration mise plus haut se généralise.

Al Kashi dans DBD':

soit

on pose:
Par addition:



on arrive à



Al Kashi dans ACD':





L'aire de ABC est

A noter que la quantité sous la racine est bien toujours positive car si un point est situé à l'intérieur d'un triangle équilatéral, sa distance à l'un des sommets est inférieur ou égale à la somme de ses distances aux deux autres sommets.

[Doraki]

Ca me rappelle defis/equiprobleme-t123447.html