Approximation de l'unité

[Sarra_sonia]

Bonjour à tous,

On appelle suite régularisante (ou approximation de l'unité) sur toute suite de fonctions de à valeurs dans telle que:
1) Pour tout ,

2), où tend vers 0,

3) Chaque est de classe .

L'intérêt des suites régularisantes est de régulariser des fonctions grâce au produit de convolution, en effet, Si f est dans , converge vers dans .

Ma question est : si ma fonction dépend de deux variables à valeurs dans , et je veux la régulariser par rapport à et par rapport à , Est ce que je dois définir deux suites régularisantes (une pour la variable et l'autre par rapport à ) ? si je fais ainsi j'aurai deux fonctions régularisées de !!!

Merci d'avance pour vos réponses.

[SLA]

Bonjour à tous,

On appelle suite régularisante (ou approximation de l'unité) sur toute suite de fonctions de à valeurs dans telle que:
1) Pour tout ,

2), où tend vers 0,

3) Chaque est de classe .

L'intérêt des suites régularisantes est de régulariser des fonctions grâce au produit de convolution, en effet, Si f est dans , converge vers dans .

Ma question est : si ma fonction dépend de deux variables à valeurs dans , et je veux la régulariser par rapport à et par rapport à , Est ce que je dois définir deux suites régularisantes (une pour la variable et l'autre par rapport à ) ? si je fais ainsi j'aurai deux fonctions régularisées de !!!

Merci d'avance pour vos réponses.

Salut,
Tout dépends de ce que tu veux faire. Tu peux constater qu'en posant N=n+1, et prenant une suite de fonctions régularisantes sur R^N tu as une suite de fonctions qui approche f.
Maintenant si tu veux "découpler" les variables x et y, tu peux faire des convolées partielles et obtenir une "suite" doublement indicée pour approcher f.
Bref, tu as un contexte?
Cordialement

[Sarra_sonia]

Salut,
Tout dépends de ce que tu veux faire. Tu peux constater qu'en posant N=n+1, et prenant une suite de fonctions régularisantes sur R^N tu as une suite de fonctions qui approche f.
Maintenant si tu veux "découpler" les variables x et y, tu peux faire des convolées partielles et obtenir une "suite" doublement indicée pour approcher f.
Bref, tu as un contexte?
Cordialement

Merci pour votre réponse,

En réalité ma fonction représente une vitesse qui dépend du temps et de la variable de l'espace , Je pense que la deuxième idée que vous m'avez proposé me convient le plus.

Si je prends par exemple un régularisateur par rapport à et un régularisateur par rapport à , je définie la régularisée de ma fonction par



où et désignent le produit de convolution par rapport à et respectivement.

que pensez-vous de cette écriture? elle est bonne?

[SLA]

Merci pour votre réponse,

En réalité ma fonction représente une vitesse qui dépend du temps et de la variable de l'espace , Je pense que la deuxième idée que vous m'avez proposé me convient le plus.

Si je prends par exemple un régularisateur par rapport à et un régularisateur par rapport à , je définie la régularisée de ma fonction par



où et désignent le produit de convolution par rapport à et respectivement.

que pensez-vous de cette écriture? elle est bonne?

Salut,
Pardon de ma réponse tardive. Ton idée me semble correcte, encore faut-il savoir quel problème tu veux étudier.
Je te suggérais de découpler tes variables d'une manière un peu plus générale:

Mais encore une fois, tout dépends de ce que tu veux traiter.
Bon courage

[Sarra_sonia]

Salut,
Pardon de ma réponse tardive. Ton idée me semble correcte, encore faut-il savoir quel problème tu veux étudier.
Je te suggérais de découpler tes variables d'une manière un peu plus générale:

Mais encore une fois, tout dépends de ce que tu veux traiter.
Bon courage

Merci beaucoup pour votre réponse,
Mon problème est que j'ai une EDP du premier ordre linéaire à coefficients peu réguliers (les coefficients dépendent du temps et de l'espace ) je veux régulariser les coefficients par rapport au temps et par rapport à l'espace pour avoir une solution régulière et puis on passe à la limite ( tend vers zéro). Mais si j'utilise votre suggestion, comment je passe à la limite avec deux indices différents?.

Merci d'avance.

[SLA]

Merci beaucoup pour votre réponse,
Mon problème est que j'ai une EDP du premier ordre linéaire à coefficients peu réguliers (les coefficients dépendent du temps et de l'espace ) je veux régulariser les coefficients par rapport au temps et par rapport à l'espace pour avoir une solution régulière et puis on passe à la limite ( tend vers zéro). Mais si j'utilise votre suggestion, comment je passe à la limite avec deux indices différents?.

Merci d'avance.

Peux-tu nous donner ton equation?
Pour passer à la limite, tu peux faire eta tends vers 0 puis epsilon tends vers 0 (ou inversement).

[Sarra_sonia]

Peux-tu nous donner ton equation?
Pour passer à la limite, tu peux faire eta tends vers 0 puis epsilon tends vers 0 (ou inversement).

Il s'agit d'une équation de transport.
Merci infiniment pour votre aide. :we:

[SLA]

Il s'agit d'une équation de transport.
Merci infiniment pour votre aide. :we:

C'est un peu vague...

Il faudrait nous écrire ladite équation, nous dire quelle est la régularité que l'on a sur les coefficients, etc etc.