Exponentielle

[Tmninjast]

Bonjour,

Je dois étudier le sens de variation de cette fonction : f(x)=exp(x)/x+1 qui est définie sur l'intervalle ]-1;+inf[

Alors j'ai calculer sa dérivée ce qui me donne xe^x/(x+1)²
Sauf que du coup, f'(x)>0 sur ]-1;+inf[ et par conséquent la fonction f est croissante sur tout cet intervalle.
Mais en réalisant la courbe avec géogebra, je me rends compte qu'elle est quand même décroissante a partir de -1 mais pas longtemps..
Alors, où me suis-je trompé ?


Merci d'avance!

[ampholyte]

Bonjour,

Attention sur ]-1; 0[, on a xe^x < 0 donc f'(x) < 0

[Tmninjast]

Oui merci je viens de remarquer ça! Ce qui fait que f(x) est décroissante sur ]-1;0[ et croissante sur [0;+inf] ?

[ampholyte]

Oui c'est cela.

[Tmninjast]

Merci beaucoup!
Je ne veux pas vous déranger plus longtemps, mais je dois calculer sa limite en +inf.
Sauf que je n'arrive pas du tout a factoriser cette fonction...

[ampholyte]

Tu sais que :



Tu devrais pouvoir conclure à l'aide des croissances comparées.

[Tmninjast]

Ah oui donc lim1/(1+1/x) en +inf =0 et la limite du premier facteur est égal a +inf étant donnée que l'exponentielle "l'emporte"
Ce qui donne limf= +inf

[ampholyte]

Attention,



Sinon ok pour le résultat final.

[Tmninjast]

Ah oui, oui en effet. Et pour calculer la limite en -1 je remplace juste -1 dans la fonction de départ ?

[ampholyte]

Oui c'est cela mais fait attention le dénominateur s'annule, il faudra donc regarder en et en

[Tmninjast]

oui c'est exact merci! je trouve en -1+, +inf et l'autre -inf, cela coincide!