Exercice sur les suites

par **anthonyme** » 16 Nov 2015, 23:30

Bonjour,
Je voudrais savoir si la suite de terme général UnVn+Un+Vn diverge ?
Et comment fais t-on pour le démontrer.
Merci d'avance

par **biss** » 17 Nov 2015, 00:44

ca depend

par **nodjim** » 17 Nov 2015, 07:18

Faut étudier les suites Un et Vn quoi.
Voila, voila....

par **anthonyme** » 17 Nov 2015, 09:23

Dans l'exercice il nous dit que Un et Vn possèdent chacune une limite ( finie ou infinie )
J'ai pu démontrer en factorisant à l'aide d'une identité remarquable que la suite suite de terme général Un^2+Vn^2+Un+Vn avait pour limite +infinie ou (L+1/2)^2+(L'+1/2)^2-(1/2)
Mais pour la suite de la forme UnVn+Un+Vn je galère un peu ...

par **nodjim** » 17 Nov 2015, 10:16

Faut voir. As tu donné tous les renseignenemts dans ton énoncé pour qu'on puisse répondre ?

par **anthonyme** » 17 Nov 2015, 10:24

nodjim a écrit:Faut voir. As tu donné tous les renseignenemts dans ton énoncé pour qu'on puisse répondre ?

Oui il n'y a que deux questions. Et on nous dis seulement que Soient (Un) avec n dans N et ( Vn) n dans N possédant chacune une limite ( finie ou infinie)
a) Montrer que la suite de terme général Un^2+Vn^2+Un+Vn possède une limite ( finie ou infinie)
- là j'ai factoriser : ((Un+1/2)^2+(Vn+1/2)^2)-(1/2) ( identité remarquable de la forme (a+b)^2
Ensuite j'en ai déduis que les limites possibles sont +infini et ((L+1/2)^2+(L'+1/2)^2)-(1/2) Tel que L et L' les limites respectives de Un et Vn ( l'expression étant au carré on ne peut avoir de forme indéterminée.
La question suivante est : b)Peut-on en dire de même de la suite de terme général UnVn+Un+Vn ( c'est cette question qui me préoccupe )
Merci

par **nodjim** » 17 Nov 2015, 10:43

Pour a)
Si tu remplaces Un et Vn pour les limites respectives L et L', ça donne L²+L'²+L+L'. La transformation que tu as opérée a t elle vraiment un intérêt ?

Pour b) pareil: LL'+L+L'.

D'une manière plus générale, si 2 suites ont une limite, leur produit aussi, ainsi que leur somme. Mais bon, attends une confirmation, y a peut être un piège.

par **anthonyme** » 17 Nov 2015, 10:53

Merci beaucoup pour la réponse, j'y ai déja pensé mais si tu poses directement la limite ( ils ont spécifié que L et L' peuvent prendre +infini et - infini du coup on peut avoir des formes indéterminées si on ne factorise pas ... et ce ne sera pas démontrer pour tous les termes de la suite .

par **aymanemaysae** » 17 Nov 2015, 11:18

Peut-être faut - il penser à l'identité suivante : xy + x+ y = (x+1)(y+1) -1 .

par **nodjim** » 17 Nov 2015, 11:19

On peut avoir des formes indéterminées, ce n'est pas vraiment le sujet je crois. Mais je ne vois pas trop comment le produit ou la somme de 2 suites qui ont chacune une limite pourrait ne pas avoir de limite.

par **aymanemaysae** » 17 Nov 2015, 11:29

L'identité remarquable donnée, donnera le résultat sans formes indéterminées.

par **Matt_01** » 17 Nov 2015, 18:04

Sauf que, x_n =2n+nsin(n) possède une limite, y_n = 1/n aussi, mais x_n*y_n=2+sin(n) n'en possède pas.

par **nodjim** » 17 Nov 2015, 18:46

Ah, bien vu Matt01.
Donc si
xn=2n+nsin(n)-1
yn=1/n-1
(xn+1)(yn+1)-1 donne 1+sin(n) qui n'a pas de limite.

par **aymanemaysae** » 17 Nov 2015, 19:39

Pour ma part, je dis aussi :Bravo et chapeau.
Une autre intuition qui tombe à l'eau:ceci m'a appris à n'admettre aucune proposition sans démonstration.

par **nodjim** » 17 Nov 2015, 19:50

De même pour u²+v²+u+v
si u=V(n+sin(n) et v=-Vn
u et v ont chacun une limite.
mais u²+v²+u+v=n+sin(n)-n+V(n+sin(n))-Vn
=sin(n) + V(n+sin(n))-Vn
tend vers sin(n) à l'infini, donc pas de limite non plus !

par **chan79** » 17 Nov 2015, 20:07

nodjim a écrit:De même pour u²+v²+u+v
si u=V(n+sin(n) et v=-Vn
u et v ont chacun une limite.
mais u²+v²+u+v=n+sin(n)-n+V(n+sin(n))-Vn
=sin(n) + V(n+sin(n))-Vn
tend vers sin(n) à l'infini, donc pas de limite non plus !

salut
v²=n, non ?

par **nodjim** » 18 Nov 2015, 08:47

Ah oui beau plantage...
Du reste, la démo de anthnyme semble correcte.

par **aymanemaysae** » 18 Nov 2015, 14:02

La proposition 15 de la page 322 de "Tout en un - mathématiques, MPSI-PCSI", affirme que:
(Début de copie du texte):
Soient f et g deux applications définies sur une partie D de IR et admettant en 'a' appartenant à IR(barre), respectivement pour limites l et m éléments de IR(barre),
* Si l+m n'est pas une forme indéterminée, alors lim(en a) f+g = l+m.
*Si lm n'est pas une forme indéterminée, alors lim(en a) fg = lm. (Fin de copie du texte).

Remarque(sujette à discussion):
*Pour l'addition, si f et g admettent des limites éléments de IR(barre), la forme indéterminée survient quand f admet pour limite +infini et g admet -infini pour limite et vice versa.
*Pour la multiplication, si f et g admettent des limites éléments de IR(barre), la forme indéterminée survient quand f admet pour limite 0 et g admet (+ou-)infini pour limite et vice versa.

Conclusion:
Comme (un)^2+(vn)^2+un+vn = (un+1/2)^2 + (vn+1/2)^2 -1/2 donc la limite ici ne peut être sous une forme indéterminée, et donc la limite est soit +infini soit (u+1/2)^2 + (v+1/2)^2 -1/2 .
Au contraire, pour un vn +un + vn , il faut dresser un tableau qui donne les limites de un vn +un + vn en fonction des limites de un et vn: j'ai trouvé qu'on obtient des formes indéterminés pour les cas suivants:
1) u appartenant à IR*- et v = +infini.
2) u appartenat à IR*- et v = -infini.
3) u = +infini et v appartenant à IR*-.
4) u = -infini et v appartenant à IR*-.
Quant au cas où u et v sont des réels, la limite recherchée est: uv+u+v, et pour les autres cas on trouve soit +infini soit -infini.

Exercice sur les suites

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