Je suis actuellement en terminale s. Cependant, j'ai d'énormes difficultés en mathématiques ( ma moyenne de maths est à ce jour de 2...) Malgré le travail que je fournis, je n'arrive pas à combler mes difficultés. C'est pourquoi je demande aujourd'hui de l'aide pour un dm de maths ( facultatif, mais que je veux faire).
Voici l'énoncé:
1. Un encadrement de e
Soit n un entier naturel, n2, et les fonctions f et g définies sur [0;1] par:
f(x)=e^{-x}(1+\frac{x}{1!}+\frac{x²}{2!}+...+\frac{n^x}{n!}) et g(x)=f(x)+e^{-x}\frac{x^n}{n!}
(rappel: k!=1x2x3x...xk pour k*).
a. Déterminer le sens de variation de f et de g et en déduire que f(1)<1 et que g(1)>1.
b. En déduire l'encadrement (1) de e:
1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}
2.Algorithme
a. Ecrire un algorithme qui demande n et envoie l'encadrement (1) de e obtenue pour cette valeur de n.
b. Le programmer et le faire tourner pour n=6
3. Irrationalité de e
Supposons qu'il existe deux entiers naturels p et q tels que e=\frac{p}{q} (q2)
a. Montrer que q!e est alors un entier.
b. Justifier que si k est un entier tel que 1kq, alors \frac{q!}{k!} est un entier.
c. Ecrire l'encadrement (1) pour n=q puis le multiplier par q!
Déduire de la question b. que q!e est strictement compris entre deux entiers consécutifs.
d. Que peut-on en conclure ?
Je sais que pour la question 1.a, il faut que je dérive les deux fonctions et que je réalise un tableau de signe. Mais je n'arrive même pas à dérive.
Merci de votre aide.