Fonctions

[clem200043]

Bonjour

J'ai un DM pour lundi et malheureusement, certaines réponses me manquent.
J'ai cherché en vain pendant plusieurs heures, c'est pourquoi je demande votre aide maintenant.

Voilà l'énoncé :
Les maîtres nageurs d'une plage disposent d'un cordon flottant d'une longueur de 400m avec lequel ils délimitent la zone de baignade surveillée, de forme rectangulaire.
Le problème est de déterminer les dimensions de ce rectangle pour que l'aire de baignade soit maximale.
On appelle "x" la largeur du rectangle et "y" sa longueur.

Précision personnelle : la longueur "y" longeant la plage n'est pas contabilisée ( pas de cordon utilisé ).

1-a) Calculer l'aire de la zone de baignade lorsque x=50m et lorsque x=100m

-pour x= 50m
A1 : 300x50 =15000 m2

-pour x=100m
A2 : 200x100=20000 m2


1-b) Quelles sont les valeurs possibles de x ?
0 < x < 200

1-c) Sachant que la longueur du cordon est de 400m, exprimer y en fonction de x.
2x = 400-y
<=> -y = 2x-400
<=> y = -2x + 400

1-d) Exprimer, en fonction de x, l'aire A(x) de la zone de baignade. Sur quel intervalle cette fonction est-elle définie ?
Je bloque!!

2-a) Représenter dans un repère aux unités bien choisies la courbe le l’aire A
2-b) Pour quelle(s) valeur(s) de x, l’aire semble-t-elle maximale ?

3-a) Démontrer que pour tout x: [0 ; 400 ], A(x) peut s'écrire sous la forme :
A(x) = 20 000 - 2 (x - 100)2

3-b) Peut-on obtenir une aire de 22000 m2 ? Justifier.

3-c) Quelle est l'aire maximale qu'on peut obtenir ?

3-d) Quelles sont les dimensions de la zone de baignade

Pouvez vous me donner les explications avec les réponses svp

Merci d'avance pour votre aide
A+

[kelthuzad]

Salut,

Jusqu'à 1) c) ok
1) d) l'aire est simplement x*y

Pour l'aire maximale c'est moins facile, je vois une solution qui n'est pas forcément évidente (il y a peut-être mieux, je te la donne en attendant)

on sait que y = -2x + 400, en mutipliant par x de chaque côté on a :

A(x) = -2x² + 400x

On reconnait une parabole en forme de U retournée, le sommet nous donne l'aire maximale et donc la borne sup de l'intervalle où est défini A,
x_max = -b/2a (définition de l'abscisse du sommet d'une parabole de type ax²+bx+c)
x_max = -400/(-2*2) = 100
On retrouve y : y = -2*100 + 400 = 200

[kelthuzad]

Par ailleurs quand x tend vers 0, l'aire tend vers 0 donc l'aire est définie sur ]0,200] on le voit bien ici :
A(x) = -2x² + 400x

[clem200043]

merci pour ta réponse mais je n'ai pas encore vu les paraboles en cours donc je ne pense pas que ce soit ce raisonnement

[kelthuzad]

Tu es en quelle classe ?

[clem200043]

Je suis en classe deseconde

[kelthuzad]

Ah d'accord, peut-être que le terme parabole t'est inconnu mais la question 1)d) te demande explicitement l'expression -2x² + 400x, le mot parabole désigne simplement le graphe associé à cet expression.

[kelthuzad]

Tiens je pense que c'est plus clair comme ça :

On sait que y = -2x + 400

L'aire est x*y (longueur fois largeur comme c'est un rectangle), si je remplace y par son expression juste au dessus je tombe sur :

x*(-2x + 400) = -2x² + 400x

[clem200043]

ah oui mais pour la question 1)d) je ne trouve pas -2*x^2+400*x mais -2*x+400*x

[kelthuzad]

Ce qui ferait 398x mais non c'est bien -2x², relis mon post de 16h31

[clem200043]

maintenant j ai compris donc cela veut dire par exemples que f(20)=7200

[kelthuzad]

Oui c'est ça, j'ai un peu modifié plus haut mes post, attention de pas confondre y et A, pour le max on a x = 100, y = 200 et A = 100*200

[kelthuzad]

Pour bien comprendre ce qui se passe, voici deux chemins pour trouver A_max :

On a trouvé :
A(x) = -2x² + 400x
on trouve le x qui correspond au sommet x_max = -b/2a ..., x_max = 100 (voir plus haut)

On retrouve y avec la formule
y_max = -2x_max + 400
y_max = -2*100 + 400
y_max = 200

(y_max n'est pas la valeur de y maximale mais la valeur y lorsque l'aire A(x) est max)

A_max = x_max * y_max = 100*200 = 20 000

Et autre méthode on passe directement par
A(x) = -2x² + 400x
A(x_max = 100) = -2*100²+400*100
A(x_max = 100) = -20000 + 40000
A(x_max = 100) = 20 000

[clem200043]

merci pr ta réponse j ai compris maintenant mais quelles sont les réponses du 3)a et b)

[kelthuzad]

Re,

Pour le 3) a) on peut soit partir de notre expression de A qu'on a trouvé
A(x) = -2x² + 400x
Soit l'expression de l'énoncé (ce qui sera plus simple, il est tjs plus facile de développer que de factoriser)

A(x) = 20 000 - 2 (x - 100)²
A(x) = 20 000 - 2(x² - 200x + 10000)
A(x) = 20 000 - 2x² + 400x - 20000
A(x) = -2x² + 400x

On retombe bien sur notre expression de tout à l'heure, on a

A(x) = -2x² + 400x = 20 000 - 2 (x - 100)²

3) b) L'aire maximale est 20 000 m² donc non on ne peut pas obtenir une aire de 22 000 m² car 400m de corde ne suffit pas, le calcul du sommet de la parabole max A(x = -b/2a) < 22000 le justifie.
Si tu veux une justification plus poussé tu peux résoudre :
A(x) = 22000
-2x² + 400x = 22000
-2x² + 400x - 22000 = 0
delta = b²-4ac ...
Tu devrais trouver un x qui sort de l'intervalle ]0; 200[

Le reste des questions est clair ?

[clem200043]

merci pour tes reponses y a-t-il une autre solution pour la 3)b) car on a pas vu les paraboles peut tu aussi m'expliquer la 3)c)