Divisibilité

[toto273]

Bonjour, dans un exercice, on me demande de déterminer les valeurs de l'entier naturel n pour lesquelles est divisible par 15.

Je sais que les restes de la division euclidienne des puissances de 67 par 15 sont 1 si n = 4k, 7 si n = 4k + 1, 4 si n = 4k + 2 et 13 si n = 4k + 3, avec k , mais je ne vois pas comment continuer.

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci d'avance

[lulu math discovering]

Je ne vois pas le problème, tu as quasiment formulé la réponse.

[toto273]

Merci de m'avoir répondu, mais ce qui me gêne c'est le -1 dans .

[lulu math discovering]

Mais si le reste de la division euclidienne de 67^n par 15 est 1 (quand n a une certaine valeur), cela revient à dire que la division euclidienne de (67^n)-1 par 15 a un reste nul (pour les mêmes valeurs de n).

[toto273]

D'accord, donc les valeurs de n sont 4k, mais y'en a-t-il d'autres ?

[lulu math discovering]

ça c'est à toi de le vérifier, en procédant de manière logique et méthodique.

[toto273]

D'accord, donc les valeurs de l'entier naturel n pour lesquelles est divisible par 15 sont 4k-1, 4k, 4k+1 et 4k+2 ?

[lulu math discovering]

Non je pense que tu n'as pas compris.

Ecris 67^n de la forme 15*q+r (avec bien sur q et r entiers) et étudie la divisibilité de (67^n)-1 par 15 quand r (le reste de la division euclidienne de 67^n par 15) a certaines valeurs.

Déduis-en les valeurs correspondantes de n.

[toto273]

D'accord, merci beaucoup !