Produit Scalaire

[raninou]

Bonsoir
J'AI UN EXERCICE ET JE TROUVE DES DIFFICULTÉS A LE RÉSOUDRE

ABC UN TRIANGLE RECTANGLE EN A. G SON CENTRE DE GRAVITE I LE MILIEU DE BC
MONTRER LE PRODUIT SCALAIRE GB.GC =-2/9 BC2
j'ai essayé mais je n ai pas pu terminer
GB.GC
J'ai intercalé le point A
= (GA + AB). (GA + AC)= GA²+ GA . (AB + AC) + (AB.AC) AB.AC = 0 ; AB.AC
= (2/3 AI)² + 2/3 AI (AB + AC)
?????
:cry2:
MERCI ET DÉSOLÉE DE VOUS DÉRANGER

[siger]

bonsoir

il faut faire intervenir les donnees du probleme
1- le point I est le milieu de BC donc IB +IC =0
2-le triangle est rectangle en A donc AI =BI= CI=BC/2
3- G est le centre de gravite du triangle donc GI =AI/3=BC/6

GB.GC= (GI +IB)(GI+IC) =
......
=GI^2 -BC^2/4
.....


complement:
j'ai repris ton calcul qui est juste ( une petite erreur de signe dans les vecteurs)
(GA)^2 + GA(AB +AC)
avec AI = BC/2
AB +AC = 2AI
GA=-(2/3)AI (et non =(2/3)AI)
GA=-BC/3
.......

[siger]

bonsoir

OK pour le calcul jusqu'a
GA^2 + GA.(AB + AC)
AB +AC = 2AI
comme AI et GA sont colineaires on peut ecrire GA.(AB +AC) =2GA.AI = 2GA*AI
avec GA=- AG = -(2/3)AI
en module AI = BC/2 d'ou
GA^2+GA.(AB+AC) = (-BC/3)^2 - (1/3)(BC)^2
.....

[raninou]

Merci pour votre réponse
Je vais essayer de terminer l'exercice
:id:

[raninou]

Bonsoir
l'exercice continue
Est ce que vous pouvez me dire ci mes réponse sont juste
f(M) = MB.MC -2/3 AI.MG
* Calculer f(A) et f(G) en fonction de BC
f(A) = -1/9 BC²
f(G) = -2/9 BC²
*Montrer pour tout point M
f(M) = MG²-2/9 BC²
MB.MC -2/3 AI.MG = (MG+GB )(MG+GC)-2/3 AI.MG
=MG²+ MG(GB+GC -2/3AI)
=MG²+ MG(GB+GC -2/3AI)=MG²+ MG(GI+IB+GI+IC -2/3AI)= MG²+ MG(2GI-2/3AI)=MG²+ MG(2 AI/3-2/3AI)= MG² :help:

[siger]

Re

corrections en bleu

Bonsoir
l'exercice continue
Est ce que vous pouvez me dire ci mes réponse sont juste
f(M) = MB.MC -2/3 AI.MG
* Calculer f(A) et f(G) en fonction de BC
f(A) = -1/9 BC² OK
f(G) = -2/9 BC² OK
*Montrer pour tout point M
f(M) = MG²-2/9 BC²
MB.MC -2/3 AI.MG = (MG+GB )(MG+GC)-2/3 AI.MG +GB.GC
=MG²+ MG(GB+GC -2/3AI)-2/9BC²
=MG²+ MG(GB+GC -2/3AI)-.....=MG²+ MG(GI+IB+GI+IC -2/3AI)-.....= MG²+ MG(2GI-2/3AI)-....=MG²+ MG(2 AI/3-2/3AI)-....= MG²-2/9BC² :help:

[raninou]

Bonjour,
Vous êtes aimable de me répondre et merci
en continue l'exercice vous pouvez me dire si mon travail es juste ?
* En deduire l'ensemble C ........... vérifiant f(M) = -1/9 BC²
MG²-2/9 BC² = 1/9 BC²
MG² = 1/9 BC² c'est un cercle de centre G et de rayon 1/3 BC

On considère les points A(1,1) ; B (2,-1) et C (3,2)

BC² = AB² + AC² = 10 = 5+5
donc ABC est un triangle rectangle en A
*Donner les coordonnées de G et une équation de C
I=B*C Xi =3/2 et Yi= 0 I(3/2,0)
les coordonnées de vecteur AI (1/2,-1)
on sait que AG=2/3 AI les coordonnées du point G (4/3,1/3)

l’équation du cercle C (x-4/3)²-(y-1/3)² = 10/9

Je suis désolée pour le dérangement
Rania

[siger]

Re

de maniere plus generale il vaut mieux revenir aux definitions, ce qui est valable dans tous les cas de figure

d'apres la definition de G on a
GA+GB+GC=0
soit
GO + OA + GO + OB + GO + OC =0
ou OG = (1/3)*(OA+OB+OC)
et en projettant les vecteurs sur les axes
xG = (1/3)(xA +xB+xC)
yG = (1/3)(yA+yB+yC)
.....
d'ou les coordonnees de G

puis l'equation du cercle (exacte au signe pres et .......avec les bonnes coordonnees de G)

[raninou]

xG=1/3 (1+2+3) =2
yG=1/3 (1-1+2) = 2/3 G(2.2/3)
(x–2)2+(y–2/3)2=10/9
Merci beaucoup

[siger]

Re

OK

attention, pour indiquer le carré il faut;
soit utiliser "²" touche en haut a gauche du clavier ( ex:a²)
soit utiliser le symbole "^" (exemple a^2) valable pour toutes les puissances (a^n)