Dérivabilité (Licence)

[Minimaths]

Bonjour à tous, j'aurais besoin d'un peu d'aide s'il vous plaît.
Il faut répondre par vrai ou faux et selon la réponse, faire une démonstration ou donner un contre-exemple :

1) Soit f une fonction dérivable sur [-2,3] tel que f'(1) = 0, alors f admet un extremum local en 1.

2) Une fonction définie au voisinage d'un point a et continue en ce point est nécessairement dérivable en ce point.

J'ai mis pour la 1), par définition du cours: "Si f admet un extremum local en a alors f'(a)=0.
Donc je pense qu'elle est vrai.


Pour la 2) je pense que c'est faux mais j'arrive pas à trouver de contre-exemple.

Mais je ne suis pas du tout sûr de mes réponse :triste:
Je remercie d'avance les personnes qui pourront m'aider :we:

[mathelot]

Bonjour à tous, j'aurais besoin d'un peu d'aide s'il vous plaît.
Il faut répondre par vrai ou faux et selon la réponse, faire une démonstration ou donner un contre-exemple :

1) Soit f une fonction dérivable sur [-2,3] tel que f'(1) = 0, alors f admet un extremum local en 1.

faux. s'inspirer de f(x)=x^3 pour construire un contre exemple.

2) Une fonction définie au voisinage d'un point a et continue en ce point est nécessairement dérivable en ce point.

faux. il y a des fonctions partout continues et nulle part dérivables


J'ai mis pour la 1), par définition du cours: "Si f admet un extremum local en a alors f'(a)=0.
Donc je pense qu'elle est vrai.

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[Minimaths]

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Je ne comprend pas trop la fonction que tu as proposé pour la 2), que signifie le k ?
Est-ce que la fonction f(x)= sqrt(x) fonctionne comme contre exemple ? Car elle est continue en 0 mais pas dérivable en 0.



Et pour la 1) si je prend par exemple la fonction f(x)= x^3 -3x , on a bien f'(1)=0 et cette fonction n'admet donc pas d'extremum local ?

[MouLou]

Je ne comprend pas trop la fonction que tu as proposé pour la 2), que signifie le k ?
Est-ce que la fonction f(x)= sqrt(x) fonctionne comme contre exemple ? Car elle est continue en 0 mais pas dérivable en 0.



Et pour la 1) si je prend par exemple la fonction f(x)= x^3 -3x , on a bien f'(1)=0 et cette fonction n'admet donc pas d'extremum local ?

Oui la racine c'est un bon contre exemple, pas besoin de sortir un exemple tordu de fonction partout continue nulle part dérivable .

Pour la 1) suffit de prendre x^3 tout court!

[mathelot]

pour la (1)

point d'inflexion sans extremum de f

pour la (2), il s'agit bd'une série trigo qui converge normalement.
les dérivées des sommes partielles

(1)
indique que la somme des dérivées va diverger

(k est un indice prenant des valeurs entières)

Il y a toute une mythologie sur la fonction (1):
Cauchy dans son cours à Polytechnique pensait que les fonctions continues
étaient dérivables. Weierstrass a donc fourni un contre-exemple
soulignant que Cauchy se plantait.

[Minimaths]

Ok merci ! Mais juste une dernière question pour la 1) : Est-ce qu'on la fonctions sqrt(x) définie au voisinage de 0 et t-elle continue en 0 ?

[mathelot]

tu dois bien distinguer une implication de sa réciproque
Si A alors B (1)
si B alors A est la réciproque

quand on a (1), on dit que B est nécessaire à A et A suffisante à B.

[MouLou]

Ok merci ! Mais juste une dernière question pour la 1) : Est-ce qu'on la fonctions sqrt(x) définie au voisinage de 0 et t-elle continue en 0 ?

tu devrais pouvoir le vérifier par toi même ça je pense!

[Minimaths]

D'accord merci beaucoup pour votre aide !!

[zygomatique]

salut

le pb de la racine c'est qu'elle n'existe pas pour x < 0 ....

la fonction valeur absolue permet aussi de conclure ....