Analyse de racines d'une fonction

[Physmen]

Bonjour voilà le problème :

Soit 'a' un réel positif ou nul fixé, on a on ne considère que le domaine de 0 à l'infini de cette fonction

Je dois prouvez que pour tout a positif ou nul, f n'a qu'un nombre fini de racines.

( la question juste avant était de montrer que la lim quand t tend vers l'infini de f existe et est finie, peut être que cela est utile )

Merci

[Kolis]

Essaies de résoudre puis .

[Physmen]

J'ai déjà essayé en vain, voici le problème d'origine si jamais : https://moodle.umons.ac.be/pluginfile.php/113135/mod_resource/content/1/TP1_training.pdf

[Lostounet]

Hi,

Est-ce que tu veux faire les questions dans l'ordre ou juste la dernière? Car c'est tordu sans les 1-2-3).

Sinon, j'ai essayé avec toi et j'ai pensé au changement de variable:

cos^3(z) = sin(z)
Puis j'ai encore élevé au carré (en assumant le risque de solution parasites)

cos^6(z) = sin^2(z)

cos^6(z) = 1 - cos^2(z)

cos^6(z) + cos^2(z) - 1 = 0

qui est un polynôme en cos(z)...
Mais bon encore faut-il étudier ce truc en posant X = cos(z), en essayant d'étudier les variations du truc puis en repassant aux quatre racines.

On fait dans l'ordre c'est mieux? :ptdr:

[Physmen]

Oui j'ai déjà fait les 3 premières enfait, je bloque à la 4ieme, c'est très gentil à vous.

[zygomatique]

salut

étonnant car tout est clair : les trois premières questions permettent d'obtenir la conclusion sans aucune difficulté ...

sans avoir fait quoi que ce soit :

a/

que signifie cette question : fort probablement une pseudo-périodicité (vu les fonction trigo)

et surtout un changement de signe des images .... du moins sur un certain intervalle [0, m]

b/

conduit à montrer que ces changements de signe des images conduit à un nombre fini de racines sur des intervalles [u(n), u(n + 1)] avec u(n) < m pour tout n

c/

on peut même calculer exactement cette limite ....

en posant u(t) = at(t + 1) alors lim u(t) = a et f tend alors vers un nombre fini .... non nul

donc sur l'intervalle [m, + oo[ f ne s'annule plus (par continuité)

d/ synthèse ::

sur un nombre fini d'intervalles f s'annule un nombre fini de fois puis ne s'annule plus

d'où la conclusion

.... :lol3:


bien entendu sous réserve que les trois premières questions conduisent effectivement (et fort probablement) à ce que j'ai dit ... mais comme on n'a pas les résultats ....

[Physmen]

Hep,
le problème dans le c/ c'est que sur l'intervalle [m, + oo[ , la fonction s'annule encore quelques fois avant de tendre vers un nombre fini.
Le problème est que les intervalles dans lesquels on arrive à prouver l'unicité des racines ne couvrent pas toutes les racines de la fonction sur [0, + oo[

[zygomatique]

alors si m ne convient pas il suffit de prendre 2m ....

[Physmen]

Oui mais alors on ne sait plus trouver formellement des intervalles contenant une solution unique pour chaque solution

pour les n tels que tn reste dans l'intervalle [0, +l'inf[, on prouve en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires et l'étude de la dérivée seconde de la fonction, qu'il y a 2 solution uniques entre tn = 2n pi / (a - 2n pi) et tn = 2( n + 1 ) pi / ( a - 2( n + 1 ) pi). Lorsque l'on projette t sur un cercle trigonométrique on remarque que les solutions sont dans le 1er et le 3ieme quadrant ( ce qui permet de montrer le signe de la dérivée seconde et de trouver un intervalle qui encadre une solution pour chaque solution)

Le problème est que ces intervalles ne prennent pas toutes les racines de la fonction comme on peut le voir sur géogebra ou gnuplot :/

[zygomatique]

geogebra me montre exactement ce que je disais .....

les valeurs particulières de la questions a/ doivent permettre de dire exactement les choses ....

Le problème est que ces intervalles ne prennent pas toutes les racines

que veux-tu dire par là ?

si un intervalle contient deux racines on peut toujours le couper en deux convenablement ...

[Lostounet]

Juste une question
Combien de racines vous trouvez? J'en trouve 4 seulement.

[zygomatique]

dans geogebra avec un curseur a variant de 0 à 100 j'ai l'impression que le nombres de racines est majoré par E(a) (largement d'ailleurs) mais on en trouve beaucoup plus que 4 ...

[Physmen]

Bonsoir et merci de votre attention pour cette exercice,

Voilà où j'en suis, je vais essayer de mieux expliquer mon problème :

J'ai considéré la suite

Elle me fournit pour chaque racine, un intervalle contenant celle-ci.

Cette suite n'est pas définie pour , car alors

Mais cela n'est pas un problème car on voit graphiquement que la fonction n'a plus de racine lorsque l'on se trouve après le dernier intervalle, c'est-à-dire pour avec

Mon problème est donc de prouver formellement que la fonction ne s'annule plus dans cet intervalle. Merci

[Lostounet]

dans geogebra avec un curseur a variant de 0 à 100 j'ai l'impression que le nombres de racines est majoré par E(a) (largement d'ailleurs) mais on en trouve beaucoup plus que 4 ...

Pourquoi mon polynôme en cos(z) s'annule que 2 fois sur R? :/
En fait le changement de variable X=cos(x) semble détruire des solutions... c'est pas bijectif. Est-ce la vraie raison? Pourtant pour les équations bicarrées c'est sans pb..
Mais du coup comment je résous ce polynôme en cos(z)?

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer?

[zygomatique]

Pourquoi mon polynôme en cos(z) s'annule que 2 fois sur R? :/
En fait le changement de variable X=cos(x) semble détruire des solutions... c'est pas bijectif. Est-ce la vraie raison? Pourtant pour les équations bicarrées c'est sans pb..
Mais du coup comment je résous ce polynôme en cos(z)?

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer?

dans geogebra j'ai construit dont la limite est a en +oo

puis

et bien sur un curseur a variant de 0 à 100

f(x) tend verts la limite qui peut être positif ou négatif ... mais en tout cas f ne s'annule plus après une certaine valeur ...


en faisant varier a vers 100 on voit que les racines "viennent s'empiler" vers 0 et doivent être au nombre d'une 40taine environ pour a = 100

d'ailleurs c'est marrant visuellement de faire varier a de façon croissante ....


je pense que ce n'est pas bijectif tout simplement parce que les fonctions cos et sin sont périodiques ...

donc pour tout x il existe y > x tels que cos(u(x)) = cos(u(y)) et sin(u(x)) = sin(u(y)) .... du moins jusqu'à un certain rang ....

ensuite u tendant vers a ne varie plus suffisamment pour faire un tour complet de cercle .... en gros ....


et même plus précisément lorsque x varie de 0 à +oo, u(x) varie de 0 à a et je pense que le nombe de racines de f ne doit pas être loin de a/2pi ....


l'étude des suites t_n et leur image par u sert justement à montrer cette "presque-périodicité" ....