Intégrale et racines d'une fonction (oral Mines Ponts)

[Maffyeux]

Bonjour à tous, j'aurais besoin de votre soutien pour cet exercice :

on considère un intervalle I=[a,b] et une fonction f continue sur I telle que l'intégrale de dt est nulle (les bornes de l'intégrale sont a et b), et ce pour tout k entier de 0 à n.
Il faut montrer que f s'annule au moins (n+1) fois sur I.


J'arrive à prouver (en considérant k=0) que f admet au moins une racine de multiplicité impaire sur I. Il me semble que cet exercice se rapproche de la démonstration des racines des polynômes orthogonaux où il faut raisonner par l'absurde en supposant qu'il existe moins de (n+1) racines mais je n'arrive pas à aboutir.

Merci de votre réponse !

[Nightmare]

Salut,

Pour k=1, on obtient que l'intégrale de f sur I est nulle, comme elle est continue, on peut en déduire qu'elle s'annule au moins une fois sur I.

Si l'on veut parler d'orthogonalité, par hypothèse f est orthogonale à tout polynôme de degré inférieur ou égal à n, pour le produit scalaire usuel .

Soient les zéros de f en lesquels f change de signe. On considère la fonction . g est clairement continue et de signe constant, donc d'intégrale non nulle! le polynôme n'est donc pas orthogonal à f et donc...

[Doraki]

T'as montré que f a au moins un changement de signe grâce à k=0.
Avec k=0 et k=1, il faudrait montrer que f a au moins 2 changements de signes.

Si f a 1 seul changement de signe,
est-ce que tu pourrais pas trouver un polynôme P de degré 1 tel que P(t) f(t) soit de signe constant ?

[Maffyeux]

En effet si on prouve que l'intégrale de g est non nulle on prouvera que est de degré strictement supérieur à n et donc que f s'annule au moins (n+1) fois sur I.
Cependant je ne comprends pas pourquoi g est de signe constant, et par ailleurs pourquoi peut-on dire que " f est orthogonale à tout polynôme de degré inférieur ou égal à n" et non pas seulement aux polynômes ? Enfin je crois que c'est bien pour k=0 que l'on prouve l'existence d'au moins une racine de f.

[Nightmare]

N'oublie pas je j'ai considéré les zéros de f ou elle changeait de signe !

Sinon, tout polynôme est combinaison linéaire de X^k et l'intégrale est linéaire... Donc si f est orthogonale au X^k, elle est orthogonale a toute combinaison linéaire des X^k !

[Maffyeux]

Je pense que je vais pouvoir faire l'exercice, merci beaucoup ! (une dernière remarque, quelle serait une autre manière de répondre en passant outre la comparaison avec la démo des polynômes orthogonaux ?)