Soit la fonction f numérique de la valeur réelle x donnée par :
f(x) = (x + 1)^2 pour x < 0
" " =√x + 1 −√x pour x >= 0.
1. Démontrer que la fonction f est continue sur R et calculer ses limites en +∞ et −∞.
2. Faire l’étude de la dérivabilité de la fonction f sur R et calculer sa dérivée sur R∗.
3. Étudier les variations de la fonction f, en étudiant le signe de sa dérivée et en déterminer les
extrema locaux.
4. Soit I = [0, 2] et h la restriction de f à I.
(a) Calculer les dérivées d’ordre 1, 2 et 3 de la fonction h sur l’intervalle I.
(b) Soit n ∈ N∗ Donner une formule générale exprimant la dérivée d’ordre n de la fonction
x →√x en fonction de n et la démontrer par récurrence.
(c) Écrire la formule de Taylor-Young pour la fonction h à l’ordre 2 au point x0 = 1.En déduire une équation de la tangente à la courbe représentative de h au point d’abscisse x0= 1, ainsi que la position de cette courbe relativement à cette tangente.
5. Soit J = h(I). Déterminer J et démontrer que la fonction h est bijective de I dans J.
6. Démontrer que h^(−1) est dérivable sur J et donner son sens de variation.
1)J'ai réussit la question 1.
2) Pour la question 2, je n'arrive pas à calculer le taux d'accroissement quand f(x)= √x + 1 −√x.
3) Comme cette fonction est une fonction coupée par morceau, dois-je faire 2 tableaux de variations pour chaque fonction sur l'intervalle qu'elle recouvre?
4) Pour la question 4, je n'arrive à rien. Est-ce que une restriction change quelque chose à la fonction? Comment faire la récurrence et le développement de Taylor...? ( Pour celle là je suis vraiment perdu...).
5) Comment trouver J=h(I)?
6)Je ne sais pas faire.