Statistiques démo de V(aX + bY) = a²V(X) + b²V(Y)

[gamii]

Bonjour j'ai 2 démos à faire besoin d'aide svp

Pour le cas d'indépendance, V(aX + bY) = a²V(X) + b²V(Y)

et

Cov (aX + bX+Y)= a b V(X)

Pour la première je trouve :

V(aX + bY) = E(aX + bY)² - [E(aX + bY)]² = E(a²X² + 2abXY + b²Y²) - [aE(X) + bE(Y)]²
= a²E(X²) + 2abE(XY) + b²E(Y²) - a²[E(X)]² - 2abE(X)E(Y) - b²[E(Y)]²
= a²[E(X²) - (E(X))²] + b²[E(Y²) - (E(Y))²] + 2ab[E(XY) - E(X)E(Y)]
= a²V(X) + b²V(Y) + 2ab[E(XY) - E(X)E(Y)]

mais ce n'est pas le résultat attendu

:help:

[Robot]

Où as-tu utilisé l'hypothèse d'indépendance ? Si tu ne l'as utilisée nulle part, c'est sûr que tu n'arrives pas au bout ...

[gamii]

Non :triste:

[Robot]

Tu sais donc ce qu'il te reste à faire : traduire l'hypothèse d'indépendance et l'utiliser.

[gamii]

est-ce que je peux dire :

si X et Y indépendantes 2ab[E(XY) - E(X)E(Y)] = 0

et j’obtiens le résultat voulu

[Robot]

As-tu relu ton cours pour voir s'il contient un résultat te permettant d'affirmer ça ?

[gamii]

oui

X et Y indépendant:

E[X].E[Y] = E[XY]

[Robot]

Alors tu peux appliquer ce résultat ici, puisqu'il figure dans ton cours.

Un membre du forum, sans doute trop timide pour poster, fait part par message privé du fait qu'il n'arrive pas à démontrer que la covariance de deux variables aléatoires indépendantes est nulle.
Pour faire simple, supposons que (resp. ) prend ses valeurs dans une partie finie (resp. ) de . L'indépendance de et signifie que pour tout dans ,

(autrement dit, si , la probabilité que sachant que est égale à la probabilité de : la valeur prise par est indépendante de celle prise par (et vice-versa)).

Alors, si et sont indépendantes :