Suite de type ax+b

[athosvali]

Bonjour
J'ai un exercice sur les suites qui me pose problème et j'aurais besoin d'aide
Un+1=1/2Un+2 avec Uo appartenant à R. Il faut conjecturer suivant les valeurs de uo le sens de variation de Un, démontrer cette conjecture mais démontrer que cette suite est bornée.
Merci

[titine]

Bonjour
J'ai un exercice sur les suites qui me pose problème et j'aurais besoin d'aide
Un+1=1/2Un+2 avec Uo appartenant à R. Il faut conjecturer suivant les valeurs de uo le sens de variation de Un,

Pour ça tu n'as pas dû avoir de problème.
Qu'est ce que ça te donne ?

[athosvali]

Pour ça tu n'as pas dû avoir de problème.
Qu'est ce que ça te donne ?

J'ai trouvé que si U0 appartient à -l'infini,4 les 2 non compris la suite est croissante et pour 4;+l'infini la suite est décroissante mais le démontrer je ne sais pas top quoi faire. J'ai trouvé que Un-1 - Un= 1/2 (Un+4 ) est ce suffisant?

[chan79]

J'ai trouvé que si U0 appartient à -l'infini,4 les 2 non compris la suite est croissante et pour 4;+l'infini la suite est décroissante mais le démontrer je ne sais pas top quoi faire. J'ai trouvé que Un-1 - Un= 1/2 (Un+4 ) est ce suffisant?

Tu pourrais exprimer en fonction de

[athosvali]

Tu pourrais exprimer en fonction de

Je ne sais comment on fait!

[chan79]

Je ne sais comment on fait!

remplace par

[athosvali]

remplace par

Quel est l'intérêt?

[chan79]

Quel est l'intérêt?

Obtenir en fonction de et de , voir quand cette suite est croissante, décroissante, trouver sa limite ...

[athosvali]

Obtenir en fonction de et de , voir quand cette suite est croissante, décroissante, trouver sa limite ...

Bonsoir, le problème est que l'on ne connait pas U0

[Sylviel]

Je présenterais les choses ainsi :

Un est croissante ssi, pour tout n, Un+1 - Un >=0.

Donc calculons
Un+1 - Un = ...

Maintenant supposons que U0 >= 4, tu dois alors pouvoir prouver que
Un >=4, puis conclure sur la croissance de la suite.

De même pour U0 <= -4, et U0 entre les deux.

[athosvali]

Bonsoir, le problème est que l'on ne connait pas U0

Voilà ce que j'ai fait

-Initialisation : si on prend Uo= -10 donc U1= -3 donc Un+1 - Un=7>0

Hérédité :Un+1 - Un >0

- Un+1 - Un>0
-f(Un+1) - f(Un)>0
-Un+2 - Un+1>0
Donc la suite est croissante pour tout n donc majorée par 4

-Initialisation : si on prend Uo= 10 donc U1= 7 donc Un+1 - Un= -3<0

Hérédité n suppose que Un+1 - Un <0
- Un+1 - Un<0
-f(Un+1) - f(Un)<0
-Un+2 - Un+1<0
Donc la suite est décroissante pour tout n donc minorée par 4

[Sylviel]

Je ne comprends rien à ce que tu as écrit :mur:
Tu ne peux pas choisir un U0 particuliers, ni te contenter d'un n particulier, il faut tous les faire...


Un+1 - Un = 0.5 Un + 2 - Un = 2 - 0.5 Un.

Hypothèse : U0 >= 4.

Montrons par réccurrence que Un >= 4.

Initialisation : par hypothèse U0 >= 4.
Hérédité : Un+1 = 0.5 Un + 2 >= 0.5 * 4 + 2 >= 4 (par hypothèse de récurrence).

Déduis en le signe de Un+1 - Un = ... (qui dépend de n)
et donc le sens de variation de la suite.

Maintenan on fait l'hypothèse que U0 <= ... et on recommence.

[athosvali]

Je ne comprends rien à ce que tu as écrit :mur:
Tu ne peux pas choisir un U0 particuliers, ni te contenter d'un n particulier, il faut tous les faire...


Un+1 - Un = 0.5 Un + 2 - Un = 2 - 0.5 Un.

Hypothèse : U0 >= 4.

Montrons par réccurrence que Un >= 4.

Initialisation : par hypothèse U0 >= 4.
Hérédité : Un+1 = 0.5 Un + 2 >= 0.5 * 4 + 2 >= 4 (par hypothèse de récurrence).

Déduis en le signe de Un+1 - Un = ... (qui dépend de n)
et donc le sens de variation de la suite.

Maintenan on fait l'hypothèse que U0 <= ... et on recommence.

Pourquoi remplace t'on Un par 4 dans l'hérédité ?

[athosvali]

Pourquoi remplace t'on Un par 4 dans l'hérédité ?

J'ai compris, on fait la même chose pour Un < à 4 et on conclut qu'elle est bornée en 4.

[athosvali]

Pourquoi remplace t'on Un par 4 dans l'hérédité ?

excusez moi j'ai compris les variations mais comment fait on pour prouver qu'elle est bornée dans la mesure où on a deux cas différents (croissant et décroissant) ?

[Sylviel]

Encore une fois je ne comprends pas tes questions, j'ai l'impression que tu oublies ce que tu veux montrer...

Tu veux trouver le sens de variation de la suite Un suivant les valeurs de U0.

Premier cas, on suppose que U0 >= 4.
alors on montre par récurrence que Un >=4 pour tout n, et donc que Un est décroissante.
Second cas, on suppose que U0 <= -4,
alors on montre par récurrence que ..., et donc que Un est ...
Troisième cas, on suppose que ...
....

[athosvali]

Encore une fois je ne comprends pas tes questions, j'ai l'impression que tu oublies ce que tu veux montrer...

Tu veux trouver le sens de variation de la suite Un suivant les valeurs de U0.

Premier cas, on suppose que U0 >= 4.
alors on montre par récurrence que Un >=4 pour tout n, et donc que Un est décroissante.
Second cas, on suppose que U0 <= -4,
alors on montre par récurrence que ..., et donc que Un est ...
Troisième cas, on suppose que ...
....

J'ai compris pour le sens de variation mais pour démontrer qu'elle est bornée en 4 comment fait-on?

[mathelot]

J'ai compris pour le sens de variation mais pour démontrer qu'elle est bornée en 4 comment fait-on?

par récurrence

[Sylviel]

Dans le cas U0 >= 4, tu as déjà montré un minorant. Le fait qu'elle soit décroissante va te fournir un majorant.

Fais de même dans les autres cas.

[athosvali]

Dans le cas U0 >= 4, tu as déjà montré un minorant. Le fait qu'elle soit décroissante va te fournir un majorant.

Fais de même dans les autres cas.

C'es là où j'ai du mal à saisir : est-ce bien cela quand Un>4, 4 est le majorant et quand Un<4, 4 est le minorant. Quel encadrement peut-on faire dans ce cas?