Exercice type bac S : Les suites

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Ptite-rockeuse
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Exercice type bac S : Les suites

par Ptite-rockeuse » 25 Oct 2010, 18:48

Bonjour, je suis en terminale S.
J'ai un exercice à faire pour la rentrée, qui est, d'après le professeur, de type Bac.
J'ai commencé, et je ne le trouve pas particulièrement difficile mais il est très dense, donc je m'y perds un peu. Pourriez-vous m'aider à y voir plus clair ?
Merci d'avance à ceux qui m'aideront !


On considère la suite de nombres réels (Un) définie sur N par :

U0 = -1 et U1 = 1/2 et, pour tout entier naturel n, Un+2 = Un+1 - (1/4)Un

1. Calculer U2 et en déduire que la suite (Un) n'est ni arithmétique ni géométrique.
2. On définit la suite (Vn) en posant, pour tout entier naturel n :

Vn = Un+1 - (1/2)Un

a) Calculer V0
b) Exprimer Vn+1 en fonction de Un
c) En déduire que la suite (Un) est géométrique de raison 1/2
d) Exprimer (Vn) en fonction de n

3. On définit la suite (Wn) en posant, pour tout entier naturel n :

Wn = Un/Vn

a) Calculer W0
b) En utilisant l'égalité Un+1 = Vn + 1/2 Un, exprimer Wn+1 en fonction de Un et de Vn
c) En déduire que pour tout n de N, Wn+1 = Wn+2
d) Exprimer Wn en fonction de n

4. Montrer que pour tout entier naturel n :

Un = (2n-1)/2^n

5. Pour tout entier naturel n, on pose : Image

Démontrer par récurrence que pour tout n de N, Sn = 2-(2n+3/2^n)


Voilà maintenant ma progression :

1. J'ai trouvé U2 = 3/4
Par contre, je ne vois pas en quoi je peux constater que (Un) n'est de fait ni arithmétique ni géométrique.

2. a) J'ai trouvé V0 = 1/4
b) On a Vn = Un+1 - 1/2(Un) et Un+1 = Un+2 + 1/4(Un) et Un = (Un+1-Un+2)/(1/4) et Un+2 = Un+1 - 1/4(Un)
J'ai donc trouvé : Vn+1 = Un+2 - 1/2(Un+1) = (Un+1 - 1/4(Un)) - 1/2(Un+1) = -1/4 + 1/2(Un+1)
Est-ce que ça suffit pour dire que la raison de Un est 1/2 ?
d) Pour Vn en fonction de n, j'ai fait Vn = V0 * 1/2
C'est bien ça ?
J'espère ne pas me tromper jusqu'ici.

3. a) On a donc Wn = Un/Vn. Avec Un = (Un+1 - Un+2) / (1/4) et Vn = V0 * 1/2 j'ai fait :
W0 = (Un+1 - Un+2 / 1/4) / (V0 * 1/2) = -8
b) Alors là, je suis complètement perdue. J'aimerais savoir si j'ai tout bon avant, car après il me faudrait introduire tout ça dans mon étude et c'est hyper long (déjà, là ça m'a pris une copie simple et je n'aboutis même pas à ce que je devrais trouver c'est pour ça que je pense que j'ai faux quelque part).. Pourrais-je y arriver simplement ?

Pourriez vous m'aider ? Je sens que ma tête pourrait exploser :ptdr:
Quelqu'un pourrait me dire si j'ai bon jusque là svp ?
Merci d'avance à ceux qui m'aideront et qui ont eu le courage de se pencher sur mon problème.
Sur ce, bonne fin de journée à tous !



Arnaud-29-31
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par Arnaud-29-31 » 25 Oct 2010, 19:27

Salut,
L'idée pour montrer que cette suite U n'est pas arithmétique est de la supposer arithmétique, d'exhiber la seule raison possible au regard uniquement des 2 premiers termes et de montrer ensuite que cette raison ne colle pas avec le 3ème terme ...
C'est à dire on cherche r tel que et on montre ensuite que
Idem pour montrer qu'elle n'est pas géométrique ...

Je ne suis pas d'accord avec ta valeur de

Ptite-rockeuse
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par Ptite-rockeuse » 25 Oct 2010, 19:32

D'accord donc, d'après les deux premiers termes :

* Si la suite était géométrique, la raison serait égale à -1/2 mais on aurait U1 x (-1/2) = 1/2 ce qui est différent U2

* Si la suite était arithmétique, la raison serait égale à 3/2 or U1 + 3/2 = 2 ce qui est différent aussi de U2

Nous avons dans les deux cas U2 différent de U1 + r donc la suite n'est ni géométrique, ni arithmétique.
C'est bien ça ?

Pour V0, effectivement je me suis trompée j'avais pris V0 = U1 - 1/2(U1) or c'est V0 = U1 - 1/2(U0)
Donc V0 = 1 en fait.

Arnaud-29-31
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par Arnaud-29-31 » 25 Oct 2010, 19:40

Oui c'est ca ... Mais la fin de chaque ligne peut être mieux rédigée.

Je rédigerais comme ceci :

, donc,

- si U était arithmétique, sa raison serait mais
- si U était géométrique, sa raison serait mais


Je ne suis pas d'accord avec ton calcul de ni avec ce qui suit.
De plus il y'a une erreur d'énoncé : on ne va pas montrer que U est géométrique, on vient de dire que c'était faux ... c'est V qui est géométrique.
D'après moi, la question b) est Exprimer en fonction de (et non de )
Et la question c) est En déduire que la suite est géométrique de raison 1/2

Le Chaton
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par Le Chaton » 25 Oct 2010, 19:41

Tiens salut ptite rockeuse :p
Oui c'est bien ça :) (enfin si la suite était géométrique tu obtiendrais U2=-1/4 ... ce qui n'est pas le cas ... )

Ptite-rockeuse
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par Ptite-rockeuse » 25 Oct 2010, 19:59

Salut Le Chaton =D

Euh pour V0 je ne vois pas ce qui cloche ?
Et pour la question b) et c), tu as raison c'est juste qu'ils nous ont donné une photocopie.. ignoble, presque illisible.
Je pensais avoir corrigé, mais en fait non.

Donc pour la question b) ce serait plutôt Vn+1 = Un+2 - 1/2(Un+1) = (Un+1 - 1/4Un) - 1/2(Un+1) = 1/2(Un+1) - 1/4Un = 1/2 (Un+1 - 1/2Un) = 1/2Vn
Donc c), Vn suite géométrique de raison 1/2(Vn)
Pour d), on a Vn = (1/2)^n = 1/(2^n).

C'est mieux ?

Le Chaton
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par Le Chaton » 25 Oct 2010, 20:10

Oui c'est mieux exepté que tu pourrais faire apparaitre le Vo ici :Pour d), on a Vn = (1/2)^n = 1/(2^n).
Même si il va disparaitre parce qu'il vaut 1 ... mais bon ça montrera que tu ne l'as pas oublié ...
Et la suite est de raison 1/2 et pas de raison 1/2(Vn) ... enleve le V(n)

Ptite-rockeuse
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par Ptite-rockeuse » 25 Oct 2010, 20:21

Ohlala, c'est une erreur d'inattention, désolée. J'aurais jamais mis le Vn par écrit x)
Je ferai donc apparaitre le V0 sur ma copie, tu as raison, on sait jamais, le professeur pourrait croire que je l'ai un peu zappé.

Pour la suite, la question 3. En fait vu que je m'étais trompée pour V0, je m'étais aussi trompée pour W0.. Donc c'est pas -8 mais -1 ?
Pour la b) je suis bloquée..

Le Chaton
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par Le Chaton » 25 Oct 2010, 20:31

Tu as fait quoi pour la b ?
Calcule tu connais et donc remplace et calcule :p
Sinon oui le calcul que tu as fait au départ est trop compliqué ...

Ptite-rockeuse
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par Ptite-rockeuse » 25 Oct 2010, 21:08

Ah d'accord, je pense être sur la voie !
Pour la b) on a donc Wn+1 = (Un+1)/(Vn+1) = (Vn + 1/2Un)/(1/2Vn) = 2 + (Un/Vn)
On trouve bien Wn+1 = (Wn) + 2
Ce qui nous permet de conclure en d) que (Wn) est une suite arithmétique de premier terme -1 et de raison 2, ce qui nous donne Wn = W0 + n*2 = -1 +2n

C'est bon ?

Le Chaton
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par Le Chaton » 25 Oct 2010, 21:48

Oui ça m'a l'air pas mal ^^

Ptite-rockeuse
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par Ptite-rockeuse » 26 Oct 2010, 14:51

Wah pour la 4), je suis carrément bloquée..
Je dois faire une récurrence ? C'est le trou noir total chez moi ! =D
Dans un coin, j'avais juste noté que Wn = 2n - 1 = Un/Vn = Un/(1/2^n) = 2^n * Un ?
Ça suffit pour faire Wn = 2^n * Un donc Un = Wn/2^n = 2n - 1/2^n ?
C'est une démo convenable ?

gracias
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par gracias » 18 Sep 2012, 22:03

comment on demontre que Vn= (n+cos n)/n est convergente?

 

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