Bonjour, je suis en terminale S.
J'ai un exercice à faire pour la rentrée, qui est, d'après le professeur, de type Bac.
J'ai commencé, et je ne le trouve pas particulièrement difficile mais il est très dense, donc je m'y perds un peu. Pourriez-vous m'aider à y voir plus clair ?
Merci d'avance à ceux qui m'aideront !On considère la suite de nombres réels (Un) définie sur N par :
U0 = -1 et U1 = 1/2 et, pour tout entier naturel n, Un+2 = Un+1 - (1/4)Un
1. Calculer U2 et en déduire que la suite (Un) n'est ni arithmétique ni géométrique.
2. On définit la suite (Vn) en posant, pour tout entier naturel n :
Vn = Un+1 - (1/2)Un
a) Calculer V0
b) Exprimer Vn+1 en fonction de Un
c) En déduire que la suite (Un) est géométrique de raison 1/2
d) Exprimer (Vn) en fonction de n
3. On définit la suite (Wn) en posant, pour tout entier naturel n :
Wn = Un/Vn
a) Calculer W0
b) En utilisant l'égalité Un+1 = Vn + 1/2 Un, exprimer Wn+1 en fonction de Un et de Vn
c) En déduire que pour tout n de N, Wn+1 = Wn+2
d) Exprimer Wn en fonction de n
4. Montrer que pour tout entier naturel n :
Un = (2n-1)/2^n
5. Pour tout entier naturel n, on pose :
Démontrer par récurrence que pour tout n de N, Sn = 2-(2n+3/2^n)Voilà maintenant ma progression :
1. J'ai trouvé U2 = 3/4
Par contre, je ne vois pas en quoi je peux constater que (Un) n'est de fait ni arithmétique ni géométrique.
2. a) J'ai trouvé V0 = 1/4
b) On a Vn = Un+1 - 1/2(Un) et Un+1 = Un+2 + 1/4(Un) et Un = (Un+1-Un+2)/(1/4) et Un+2 = Un+1 - 1/4(Un)
J'ai donc trouvé : Vn+1 = Un+2 - 1/2(Un+1) = (Un+1 - 1/4(Un)) - 1/2(Un+1) = -1/4 + 1/2(Un+1)
Est-ce que ça suffit pour dire que la raison de Un est 1/2 ?
d) Pour Vn en fonction de n, j'ai fait Vn = V0 * 1/2
C'est bien ça ?
J'espère ne pas me tromper jusqu'ici.
3. a) On a donc Wn = Un/Vn. Avec Un = (Un+1 - Un+2) / (1/4) et Vn = V0 * 1/2 j'ai fait :
W0 = (Un+1 - Un+2 / 1/4) / (V0 * 1/2) = -8
b) Alors là, je suis complètement perdue. J'aimerais savoir si j'ai tout bon avant, car après il me faudrait introduire tout ça dans mon étude et c'est hyper long (déjà, là ça m'a pris une copie simple et je n'aboutis même pas à ce que je devrais trouver c'est pour ça que je pense que j'ai faux quelque part).. Pourrais-je y arriver simplement ?
Pourriez vous m'aider ? Je sens que ma tête pourrait exploser :ptdr:
Quelqu'un pourrait me dire si j'ai bon jusque là svp ?
Merci d'avance à ceux qui m'aideront et qui ont eu le courage de se pencher sur mon problème.
Sur ce, bonne fin de journée à tous !