Matrice définie positie

[Emma.S]

Bonjour,
Comment montre t'on qu'une matrice est définie positive ?

[Robot]

Ca dépend comment cette matrice arrive. Il y a plusieurs moyens possibles : voir que la matrice s'écrit avec carrée inversible, montrer que les mineurs principaux sont tous >0, s'apercevoir que les valeurs propres sont toutes >0, décomposer la forme quadratique associée en carrés par l'algorithme de Gauss, etc.

[Emma.S]

Ma matrice s'écrit

M =
1 2 3
2 5 1
3 1 35

le but est de faire une factorisation de Cholesky (méthode que j'ai comprise)
Mais pour déterminer si la décomposition de Cholesky est applicable il faut montrer qu'elle est symétrique définie positive

Pour montrer qu'elle est symétrique on montre que tM = M
Pour montrer que la matrice est définie positive mon professeur montre que . X
avec X =
x1
x2
x3

est strictement positive pour tout X de R^3
cette méthode semble plus fastidieuse que celles que vous avez énoncé notamment celle des mineurs principaux alors pourquoi mon professeur s'encombre t'il de cette méthode. De quelle façon procéderiez vous ?
Merci

[Emma.S]

existe t'il un document, un cours sur internet qui fait référence à ces méthodes/théorèmes/propositions que vous avez énoncé?

[Robot]

Petit détail : strictement positive pour tout X différent de 0

Si le but est d'arriver à une factorisation de Cholesky, l'algorithme de décomposition en carrés me semble tout indiqué, puisqu'en même temps qu'on prouve que la matrice est définie positive, on récupère une factorisation. D'après ce que je comprends, c'est ce que fait ton prof ?

J'ajoute que la décomposition de Gauss se fait ici en deux coups de cuillère à pot. Les coefficients sont choisis pour que tout se passe bien.

[Emma.S]

Oui c'est bien cela on obtient un long développement avec des x1^2, x2^2, x3^2, x1x2, x2x3, x1x3 et ensuite on factorise pour prouver le fait que l'expression est positive pour tout X différent de zéro mais cela me fait peur car il n'existe pas de méthode pré-définie pour factoriser une telle expression c'est un peu "instinctif" ?

[Robot]

Oui c'est bien cela on obtient un long développement avec des x1^2, x2^2, x3^2, x1x2, x2x3, x1x3 et ensuite on factorise pour prouver le fait que l'expression est positive pour tout X différent de zéro mais cela me fait peur car il n'existe pas de méthode pré-définie pour factoriser une telle expression c'est un peu "instinctif" ?

Pas si long que ça, et il y a un algorithme pour décomposer en carrés (et non pas pour factoriser !) : l'algorithme de Gauss, que tu trouveras dans tout bon manuel (ou par exemple ici, même si ce n'est pas ce qu'on fait de mieux.

[Emma.S]

Ah merci je vais donc essayer de maîtriser cette réduction de Gauss. Merci beaucoup

[Emma.S]

ps : quelle est la différence entre la factorisation et la décomposition ?

[Robot]

La décomposition en carrés n'est pas une factorisation de l'expression (la forme quadratique) en . Tu ne le vois pas ?

Je fais l'exemple (avec plutôt que ) :

On complète le carré à partir de de façon à ne plus avoir de dans ce qui reste :

On complète le carré à partir de de façon à ne plus avoir de dans ce qui reste :


On n'a pas factorisé !

[Emma.S]

si si je vois seulement je ne connaissais pas la définition stricte de ces deux procédés. Merci en tout cas