Recurrence et suite

[Mathsdp]

bonjour,
je suis bloqué depuis pas mal de temps sur un exos, je pensais avoir trouver la solution mais ma prof de maths ma confirmés hier que ce n'etait pas la bonne manière de le démontrer.
j'ai u(n)=(1+(sqrt2))^n et v(n)=(1-(sqrt2))^n
pour la premiere question on me demande de calculer les 3 premier termes, d'ici la pas de probleme, ensuite :
montrer qu'il existe un unique couple (a(n),b(n)) d'entier naturels tel que u(n)=a(n)+(b(n)(sqrt2))
pour cela j'ai utilise un syst de recurrence en fesant le produit de a(n)+(b(n)(sqrt2)) par (1+(sqrt2)^n ce qui me donne : a(n)+2b(n)+(sqrt2(a(n)+b(n)) c'est donc ma forme de u(n+1)=a(n+1)+(sqrt2(b(n+1))
mon probleme est pour la question suivante: montrer que a(n)^2-2bn^2=(-1)^n.
je voulais le montrer en effectuant (a(n)+b(n)(sqrt2))(a(n)-b(n)(sqrt2))=(1+(sqrt2))^n(1-(sqrt2))^n
ce qui me donnait le bon resultat mais comme je l'ai dit ci dessus ma prof de maths ma expliquer que je devais me servir de u(n+1) pour demontrer cette egalité sauf qu'apres plusieurs essais je ne vois absolument pas comment faire ..
Merci d'avance pour votre aide et pour votre temps !

[zygomatique]

salut

il suffit de le faire par récurrence

on suppose que


et on calcule en utilisant les relations de récurrence définissant et en fonction de et

...

[Mathsdp]

j'ai justement essayer cette methode mais je tombe sur a(n)(-3a(n)-4b(n)), jai verifier mon a(n+1) et b(n+1) et je pense pas avoir fait d'erreur ..
mon a(n+1)=a(n)+b(n) et b(n+1)=(sqrt2)(a(n)+b(n))..

[Mathsdp]

c'est bon j'ai trouvés le probleme, merci encore !

[Mathsdp]

une autre question de l'exercice est : montrer que a(n)>=3(n-1) et b(n)>=2(n-1)
j'ai essayer par recurrence et prenant a(n+1) et b(n+1) sauf que je n'arrive pas a retrouver la forme .. ma prof de maths m'a dit que je devais montrer par recurrence avec les deux en meme temps : a(n)+b(n)(sqrt2) sauf que je ne vois pas comment faire ..
merci d'avance

[zygomatique]

on suppose que



car 7n - 7 >= 3n pour n >= 2

je te laisse faire b_n ....

[Mathsdp]

merci encore !
desole mais j'ai encore une question par rapport a la question précédente,
avec a(n)^2+2b(n)^2=(-1)^n

j'obtiens bien a(n+1)^2+2b(n+1)=-1(a(n)^2-b(n)^2)
mais je n'arrive pas a justifier la puissance n de -1 ..
de plus l'identité remarquable me met le doute car avec elle j’obtiens bien (-1)^n

ya t-il un moyen avec la recurrence de justifier le puissance n, car sinon je ne peux pas écrire cette égalité, si ..?

[zygomatique]

à mon avis reprends proprement tes calculs ....

[Mathsdp]

j'ai bien repris mes calculs,
j'obtiens toujours a(n+1)^2-2b(n+1)^2= -1(a(n)^2+2b(n)^2) soit -1(sqrt(u(n)))
je pense justifier par l'identité remarquable qui semble evidente ..

[zygomatique]

ben u peu de sérieux !!!!

le deuxième facteur = (-1)^n par hypothèse

le produit vaut donc (-1)^{n + 1}

et c'est bien ce que l'on veut ....

[Mathsdp]

je ne vous suit pas totalement ..
je ne reconnais pas la forme de 1^(n+1)..