Bonjour .
En lisant le rapport de mathématiques des ens filière pC je trouve un exercie qui me pose problème depuis longtemps.
je mets ici le lien de l'exercice
https://banques-ecoles.fr/cms/wp-content/uploads/2014/10/14_pc_rap_omath_ul.pdf
Voilà ce que j'ai fait:
J'ai montré avec le résultat sur les disques de Gershgorin que les vp sont toutes positives . (le determinant est donc positif)
J'ai essayé de montré que les valeurs propres sont plus petites que 1 ( je sais c'est un peu trop fort , il faudrait travailler directement sur det A) .Pour cela je calcule la norme triple de la matrice et je trouve en utilisant un résultat du cours que les vp en valeurs absolues sont plus petites que 2.
l'hypothèse de diagonalisabilité que je n'arrive pas trop à utiliser me donne si je considère la matrice A + x* I avec x positif et l'application qui à x associe le détermiant de cette matrice
la croissance de ce déterminant pour les x positifs.
Voili voilou . SI quelqu'un pourrait m'aider (j'ai besoin de réviser ma physique) et je sèche trop sur cet exercice.
Oral Ens
18 messages
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par Ben314 » 16 Mai 2015, 23:10
Salut,
J'ai jamais entendu parler des "disques de Gershgorin", mais je pense que c'est du même tonneau que quand on montre qu'une matrice à diagonale strictement dominante est inversible et ça te vend effectivement que les v.p. sont dans [0,2] donc positives.
Après, le truc à savoir, c'est que la trace est invariante par changement de base ce qui te dit que la somme des v.p. de A fait n.
Enfin, l'inégalité arithmético-géométrique te dit que la moyenne géométrique des valeurs propres est inférieure à la moyenne arithmétique de ces même valeur propre, à savoir la trace divisée par n, c'est à dire 1.
Donc le déterminant est <=1.
J'ai jamais entendu parler des "disques de Gershgorin", mais je pense que c'est du même tonneau que quand on montre qu'une matrice à diagonale strictement dominante est inversible et ça te vend effectivement que les v.p. sont dans [0,2] donc positives.
Après, le truc à savoir, c'est que la trace est invariante par changement de base ce qui te dit que la somme des v.p. de A fait n.
Enfin, l'inégalité arithmético-géométrique te dit que la moyenne géométrique des valeurs propres est inférieure à la moyenne arithmétique de ces même valeur propre, à savoir la trace divisée par n, c'est à dire 1.
Donc le déterminant est <=1.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par acohenol » 17 Mai 2015, 01:31
Ben314 a écrit:Salut,
J'ai jamais entendu parler des "disques de Gershgorin", mais je pense que c'est du même tonneau que quand on montre qu'une matrice à diagonale strictement dominante est inversible et ça te vend effectivement que les v.p. sont dans [0,2] donc positives.
Après, le truc à savoir, c'est que la trace est invariante par changement de base ce qui te dit que la somme des v.p. de A fait n.
Enfin, l'inégalité arithmético-géométrique te dit que la moyenne géométrique des valeurs propres est inférieure à la moyenne arithmétique de ces même valeur propre, à savoir la trace divisée par n, c'est à dire 1.
Donc le déterminant est <=1.
Merci beaucoup. ( je suis bête de ne pas avoir pensé à cet inégalité , mais me disais bien que je n'avais pas utilisé la trace).
Bonne soirée
par Pythales » 17 Mai 2015, 08:12
acohenol a écrit:Merci beaucoup. ( je suis bête de ne pas avoir pensé à cet inégalité , mais me disais bien que je n'avais pas utilisé la trace).
Bonne soirée
Par curiosité : dans le 2ème exercice, que signifie
par Ben314 » 17 Mai 2015, 20:15
Si on comprend l'énoncé sous la forme "déterminer des constantes .... valables pour n'importe quelles fonction vérifiant les hypothèses telles que ..." alors (aux erreurs de calcul près... :triste:)
je trouve
; 
; 
je trouve
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Matt_01 » 17 Mai 2015, 21:53
Y a un truc qui m'échappe :
Lorsque l'on considère la fonction proposée et qu'on réécrit linégalité avec cette fonction, j'obtiens deux constantes multiplicatives de chaque côté :
et 
.
Je vois donc pourquoi r+alpha=1 et 3*alpha=1, mais je vois pas mon erreur concernant le lambda ...
Lorsque l'on considère la fonction proposée et qu'on réécrit linégalité avec cette fonction, j'obtiens deux constantes multiplicatives de chaque côté :
Je vois donc pourquoi r+alpha=1 et 3*alpha=1, mais je vois pas mon erreur concernant le lambda ...
par Ben314 » 17 Mai 2015, 23:30
Dans le terme gauche de l'inégalité, le lambda est à la puissance 1/q : il "apparait" lors du changement de variable y=lambda.x vu que le dx devient dy/lambda et il est ensuite élevé à la puissance 1/q lorsqu'il "sort" de la parenthèse.
Pour les autres exposants, je trouve pareil.
Mais je trouve que l'énoncé est super mal foutu, vu qu'il faut "deviner" qu'on ne veut pas uniquement une inégalité concernant UNE fonction f mais une inégalité vérifiés par toutes les fonctions répondant aux hypothèses.
S'il a effectivement été posé exactement sous cette forme aux oraux, je trouve pas ça bon signe concernant le sérieux des types qui font passer les oraux...
Pour les autres exposants, je trouve pareil.
Mais je trouve que l'énoncé est super mal foutu, vu qu'il faut "deviner" qu'on ne veut pas uniquement une inégalité concernant UNE fonction f mais une inégalité vérifiés par toutes les fonctions répondant aux hypothèses.
S'il a effectivement été posé exactement sous cette forme aux oraux, je trouve pas ça bon signe concernant le sérieux des types qui font passer les oraux...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Matt_01 » 18 Mai 2015, 00:05
Arf oui ...
Sinon c'est un peu la même histoire pour la première partie de l'exercice 3 (et c'est peut-être volontaire de leur part, balancer un énoncé un peu flou de leur part oblige l'étudiant à poser le problème et à montrer la rigueur qu'il manque à l'énoncé).
Sinon c'est un peu la même histoire pour la première partie de l'exercice 3 (et c'est peut-être volontaire de leur part, balancer un énoncé un peu flou de leur part oblige l'étudiant à poser le problème et à montrer la rigueur qu'il manque à l'énoncé).
par Ben314 » 18 Mai 2015, 00:23
Perso, a formulation du 3) me gène franchement pas : c'est pas "archi super carré" vu que c'est pas précisé par rapport à quelle variable il faut regarder la continuité des valeurs propres, mais vu le contexte, y'a franchement pas le choix.
Alors que dans l'exo 2), j'imagine bien les étudiant un peu timide (donc n'osant pas facilement poser de question) rester pantois devant la question 2) uniquement parce qu'il leur vient pas à l'esprit que l'inégalité demandée doit non seulement être vérifié par la fonction f donnée par l'énoncé, mais aussi par les différentes fonctions f_indice_bidule de l'indication.
Pour "enfoncer le clou", je te signale par exemple que l'énoncé commence par "Soit f UNE fonction telle que...." et que toute personne parlant correctement le français en déduit... qu'on parle bien d'une seule fonction et pas de toute une classe de fonction.
Donc je le redit : je trouve pas ça normal vu que ce que tu "teste", c'est pas l'aptitude à "lire entre les lignes", (i.e. à comprendre les sous entendus), mais l'aptitude à lire autre chose que ce qui est écrit en toute lettres.
Et je ne dirais absolument pas que l'énoncé du 2) "manque de rigueur" : LA réponse à la question 2 telle qu'elle est posée est :
"Je prend absolument n'importe quoi pour q et alpha, puis en prenant r suffisamment grand (si ||f||>1) l'inégalité sera forcément vérifiée."
Alors que dans l'exo 2), j'imagine bien les étudiant un peu timide (donc n'osant pas facilement poser de question) rester pantois devant la question 2) uniquement parce qu'il leur vient pas à l'esprit que l'inégalité demandée doit non seulement être vérifié par la fonction f donnée par l'énoncé, mais aussi par les différentes fonctions f_indice_bidule de l'indication.
Pour "enfoncer le clou", je te signale par exemple que l'énoncé commence par "Soit f UNE fonction telle que...." et que toute personne parlant correctement le français en déduit... qu'on parle bien d'une seule fonction et pas de toute une classe de fonction.
Donc je le redit : je trouve pas ça normal vu que ce que tu "teste", c'est pas l'aptitude à "lire entre les lignes", (i.e. à comprendre les sous entendus), mais l'aptitude à lire autre chose que ce qui est écrit en toute lettres.
Et je ne dirais absolument pas que l'énoncé du 2) "manque de rigueur" : LA réponse à la question 2 telle qu'elle est posée est :
"Je prend absolument n'importe quoi pour q et alpha, puis en prenant r suffisamment grand (si ||f||>1) l'inégalité sera forcément vérifiée."
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Matt_01 » 18 Mai 2015, 23:09
Ben parler directement de continuité des vecteurs propres alors qu'on peut rendre la chose discontinue rien qu'en faisant varier discontinûment leur norme, force à ramener l'exercice à des notions de distance entre deux espaces propres, sinon l'énoncé est inutile (car faux).
Dans le cas de l'autre exercice c'est la même chose sauf que l'énoncé "inutile" est vrai, ce qui est un peu fourbe, surtout que toutes les tournures tendent à faire croire (en dehors de la réflexion sur l'utilité de l'exercice) que c'est cet énoncé qui est valable.
D'ailleurs, pour démontrer l'inégalité (avec C=12 (sauf erreur comme d'hab ...)), j'ai démontré en intégrant seulement sur [-r,r] pour les v, puis en faisant tendre r vers +inf.
Pour cela j'ai été obligé de considérer la dérivée de chacun des membres de l'inégalité, y a pas une formule qui l'obtient plus rapidement ?
C'est surprenant aussi de voir que l'intégration par rapport à x n'est pas nécessaire pour obtenir l'inégalité (en la mettant au cube), alors qu'elle est utile pour déterminer les constantes de l'inégalité (et en fait j'me rends compte que si on se passe de l'intégration par rapport à x, c'est que nécessairement 1/q=alpha et donc que l'information apportée par lambda est obsolète cad que l'on a pas besoin de la composante en x).
Dans le cas de l'autre exercice c'est la même chose sauf que l'énoncé "inutile" est vrai, ce qui est un peu fourbe, surtout que toutes les tournures tendent à faire croire (en dehors de la réflexion sur l'utilité de l'exercice) que c'est cet énoncé qui est valable.
D'ailleurs, pour démontrer l'inégalité (avec C=12 (sauf erreur comme d'hab ...)), j'ai démontré en intégrant seulement sur [-r,r] pour les v, puis en faisant tendre r vers +inf.
Pour cela j'ai été obligé de considérer la dérivée de chacun des membres de l'inégalité, y a pas une formule qui l'obtient plus rapidement ?
C'est surprenant aussi de voir que l'intégration par rapport à x n'est pas nécessaire pour obtenir l'inégalité (en la mettant au cube), alors qu'elle est utile pour déterminer les constantes de l'inégalité (et en fait j'me rends compte que si on se passe de l'intégration par rapport à x, c'est que nécessairement 1/q=alpha et donc que l'information apportée par lambda est obsolète cad que l'on a pas besoin de la composante en x).
par Ben314 » 19 Mai 2015, 00:24
J'ai juste regardé sur un coin de brouillon, mais il me semble que je trouve plutôt 
en prenant comme R (dans l'indic.) la valeur qui coupe l'intégrale en deux parties égales...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Matt_01 » 19 Mai 2015, 09:45
Ne serait-ce qu'en prenant 
, je trouve que C>=12, donc je vois pas vraiment comment tu trouves ca.
EDIT : J'avais oublié l'exposant 3 du C, mais dans ce cas je trouve quand même C^3=12 (et j'ai aucune idée de comment tu déduis quelque chose avec l'utilisation de ce R précis).
EDIT : J'avais oublié l'exposant 3 du C, mais dans ce cas je trouve quand même C^3=12 (et j'ai aucune idée de comment tu déduis quelque chose avec l'utilisation de ce R précis).
par Ben314 » 19 Mai 2015, 12:26
Je me suis effectivement gourré dans les constantes... 
Pour x fixé lorsque R varie de 0 à +oo l'intégrale=\int_{\{|v|\leq R\}}f(x,v)\,dv)
varie continument de 0 à )
donc il existe R tel que =\frac{1}{2}\rho(x))
.
Sauf que j'avais à peu prés rien écrit et que j'étais parti comme si c'était=\frac{1}{2}I(R))
d'où le problème sur la constante...
Sinon, tu dit ensuite que=2I(R)\leq 4R||f||_\infty\)
mézossi que =2\big(\rho(x)-I(R)\big)=2\int_{\{|v|>R\}}f(x,v)\,dv\leq\frac{2}{R^2}\int_{\{|v|>R\}}v^2f(x,v)\,dv\leq \frac{2}{R^2}\mu(x))
Et tu conclue que=\rho(x)\times\rho^2(x)<br />\leq \frac{2}{R^2}\mu(x)\times\big(4R||f||_\infty\big)^2<br />=32||f||_\infty^2\mu(x))
C'est à dire
qui est éventuellement améliorable en prenant R tel que =\lambda\rho(x))
pour un certain 
fixé bien choisi (j'ai pas cherché à finasser...)
Pour x fixé lorsque R varie de 0 à +oo l'intégrale
Sauf que j'avais à peu prés rien écrit et que j'étais parti comme si c'était
Sinon, tu dit ensuite que
Et tu conclue que
C'est à dire
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Ben314 » 19 Mai 2015, 15:29
En "peaufinant" la méthode, je tombe aussi sur 
On fixe n et écrit
avec 
, 
et 
choisis de façon à ce que les n+1 intégrales soient toutes égales à 
.
Tu en déduit queK\ ||f||_\infty)
où 
et que
où ^2+...+(nK)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}K^2)
Donc^3\frac{K^2}{K'} ||f||_\infty^2\mu\leq 24\frac{(n+1)^2}{n(2n+1)} ||f||_\infty^2\mu)
On fixe n et écrit
Tu en déduit que
et que
Donc
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Matt_01 » 19 Mai 2015, 18:59
Ah, ca me rassure.
Mais ca me parait louche comment, en comparant les dérivées de I(r) et de (Int(-r,r) de v²f), le résultat est quasi immédiat, alors qu'à priori il faut faire preuve d'un peu de technique pour le démontrer sans dérivation.
Mais ca me parait louche comment, en comparant les dérivées de I(r) et de (Int(-r,r) de v²f), le résultat est quasi immédiat, alors qu'à priori il faut faire preuve d'un peu de technique pour le démontrer sans dérivation.
par Ben314 » 19 Mai 2015, 19:09
Ben de toute façon, il y a très rarement une seule méthode pour démontrer un truc.
Et là, vu "l'indic", ben ça donne à penser que le gars qui a écrit l'énoncé, ben il a pas pensé à dériver, épicétout... :cry:
(pas plus que moi d'ailleurs... :zen: )
Et là, vu "l'indic", ben ça donne à penser que le gars qui a écrit l'énoncé, ben il a pas pensé à dériver, épicétout... :cry:
(pas plus que moi d'ailleurs... :zen: )
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