Réduction d'endomorphisme- Complexification

[clara69]

Bonjour à tous,

Nouvelle sur ce Forum, je viens chercher un peu d'aide sur un problème sur lequel je me casse les dents depuis plus de 2 semaines.
En voici l'énoncé.

Soit un -espace vectoriel de dimension finie dont on note l'addition et soit tel que .

1) Montrer que est un isomorphisme et est un entier pair .
2) Soit un élément non nul de . Montrer que et sont linéairement indépendants.
3) Montrer qu'il existe une base de de la forme et donner l'expression de dans cette base.
4) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres d'un tel endomorphisme .
5) Mettre sur le groupe une structure de -espace vectoriel de dimension

Et voilà ce que j'ai bricolée!!!

1) Je n'ai pas réussi à prouver que est un isomorphisme, mais puisque , on a donc forcément est pair donc .
2) J'ai écrit pour et pour tout on a

3)???
4) Je pense que annule le polynôme . Les valeurs propres de sont donc à choisir parmi les racines de -1 dans . Donc et son opposé.

Merci d'avance pour votre aide
Bises Clara

[Monsieur23]

Aloha,

Pour montrer que J est un isomorphisme, tu peux te contenter de montrer qu'il est injectif (on est en dimension finie).

Prends donc x et y dans E tels que J(x) = J(y)… Que se passe-t-il si tu appliques J de chaque côté de l'égalité ?

[mathelot]

donc

[clara69]

Aloha,

Pour montrer que J est un isomorphisme, tu peux te contenter de montrer qu'il est injectif (on est en dimension finie).

Prends donc x et y dans E tels que J(x) = J(y)… Que se passe-t-il si tu appliques J de chaque côté de l'égalité ?

Et bien j'aurais:
et donc puisque
Donc injectivité

[Monsieur23]

Et bien j'aurais:
et donc puisque
Donc injectivité

Voilà, c'est ça.

Pour la deuxième, pour montrer qu'une famille est indépendante :
tu prends a et b deux réels, et tu supposes que ae + bJ(e) = 0, puis tu veux montrer que a=b=0.

Là encore, que se passe-t-il si tu appliques J à l'égalité ?

[capitaine nuggets]

Salut !

1) Par définition, un isomorphisme est un endomorphisme bijectif. Or d'après l'énoncé, est un endomorphisme donc il ne reste qu'à montrer que est bijectif. Or est une application de dans lui-même et est de dimension finie donc est bijectif si et seulement si est injectif.
4) On a :
[CENTER][/CENTER]
où . Ainsi P est un polynôme annulateur de (et non l'inverse).
Cela dit attention le spectre de , noté (ensemble des valeurs propres de ) n'est qu'inclus dans l'ensemble des racines de !
(Il n'est pas vide car le spectre considéré est un sous-ensemble de ).

:+++:

[paquito]

Tu peux aussi montrer que {}, si vérifiais , on aurait et on aurait ca qui est absurde car est un isomorphisme.

Ton isomorphisme J admet une matrice dans la base canonique, et cette matrice est semblable à une matrice triangulaire supérieure dans dont la diagonale principale est constituée des n valeurs propres réelles ou complexes de : ... et on a dét(), mais aussi, dét)dét²();donc, implique.

Soient et 2 réels tel que , en appliquant on obtient, soit un système d'inconnues et de déterminant , d'où le résultat.

Soir e_1, e_2, ....,e_m, m vecteurs linéairement in dépendants; Je_1, Je_2,....,Je_m sont aussi linéairement indépendants puisque J est un isomorphisme et les s e v correspondants sont supplémentaires (pourquoi?)

pour plus de simplicité, je donne la matrice M de J en dimension 4:

[clara69]

Tu peux aussi montrer que {}, si vérifiais , on aurait et on aurait ca qui est absurde car est un isomorphisme.

Ton isomorphisme J admet une matrice dans la base canonique, et cette matrice est semblable à une matrice triangulaire supérieure dans dont la diagonale principale est constituée des n valeurs propres réelles ou complexes de : ... et on a dét(), mais aussi, dét)dét²();donc, implique.

Soient et 2 réels tel que , en appliquant on obtient, soit un système d'inconnues et de déterminant , d'où le résultat.

Merci pour toutes vos réponses, je vais faire le bilan et essayer de retranscrire toutes vos propositions et je mettrai tout çà en ligne.
Dans tous les cas un grand merci à tous, vous êtes des amours!!!
Bises

[zygomatique]

http://www.ilemaths.net/forum-sujet-635962.html

....

[Monsieur23]

http://www.ilemaths.net/forum-sujet-635962.html

....

D'un autre côté, quelqu'un a vraiment trouvé crédible la photo+le pseudo ?

[clara69]

D'un autre côté, quelqu'un a vraiment trouvé crédible la photo+le pseudo ?

On a le même exercice, mais je ne connais pas bradley32.
Désolée!!!

[zygomatique]

il n'y a pas de mal ....

juste faire la liaison ... dangereuse .... :ptdr: ... pour répondre à monsieur23 ...

[paquito]

Merci pour toutes vos réponses, je vais faire le bilan et essayer de retranscrire toutes vos propositions et je mettrai tout çà en ligne.
Dans tous les cas un grand merci à tous, vous êtes des amours!!!
Bises

Remarquons que siest non nul, ne peut appartenir à, car sinon serait valeur propre de ce qui est exclus.
Soit une base de (la base canonique par exemple);
étant un isomorphisme, est aussi une base de E;
montrons que est également un e base de .
Soit et réels tels que :

; ça conduit à ce qui implique et ; comme les et lesconstitue des familles libres, on obtient pour toutet pour tout .

Finalement, on peut prendre comme base )

Dans cette base, la matrice de J est composée d'une diagonale de matrice 2x2 de rotations d'angles ou etsinon.

Quand on passe en complexe, est identifié à et ce n'est pas trop dur( remplace la matrice 2x2.)

[paquito]

Effectivement le polynôme minimal de M est , donc les valeurs propres sont et et dans , est diagonalisable. soit et ;
et sont supplémentaires et dans une base de vecteurs propres: