Exo suite

[Terra65]

Bonjour!

Il ne s'agit pas là d'un DM à rendre ( en prépa évidemment à cette période de l'année j'ai quand même compris qu'il fallait s'y prendre à l'avance... bref! ) mais d'un exercice qui me retourne le cerveau et dont je n'arrive pas à arriver au bout! En voici l'énoncé :

On considère (un) définie par u0 = 3/2 et, pour tout n appartenant aux entiers naturels, un+1=g(un).

J'ai réussi une partie de l'exercice, cependant je coince à ces questions ( demander moi ce que j'ai fais avant ces questions si vous pensez que ca peut m'aider! ) :

a) pour tout n appartenant aux entiers naturels, 3/2 < ou égale à un < ou égale à 2
j'ai fais cette question facilement à l'aide d'une récurrence.

b) pour tout n appartenant aux entiers naturels, valeur absolue ( un+1-x1) < ou égale à 2/9*valeur absolue ( un-x1)

je ne vois pas la clef pour pouvoir démontrer cette inégalité. Je proposerai une récurrence aussi, mais je ne sais pas comment l’exécutée.

et enfin, c) pour tout n appartenant aux entiers naturels, valeur absolue( un-x1) < ou égale ) (2/9)^n * valeur absolue ( u0-x1)

voilà, merci d'avance pour ceux qui me répondrons, et excusez moi si mon enoncé n'est pas clair.

[zygomatique]

salut

qui est g ?

qui est x1 ?

[Terra65]

salut

qui est g ?

qui est x1 ?

alors, g est définie sur les réels positifs différents de 0 tel que g(x) = 2/x + ln(x)

et x1 est un réel solution de l'equation g(x)=x

[mathelot]

après, trouver un voisinage de où aide à la convergence vers le point fixe.

|

[Terra65]

après, trouver un voisinage de où aide à la convergence vers le point fixe.

je ne vois pas très bien où vous voulez m'amener... J'ai certes compris qu'il fallait utiliser le théorème des accroissements finis mais je ne comprends pas ce qu'il faut faire. Une récurrence, une analyse-synthèse?...

[zygomatique]

soit r tel que g(r) = r ...

1/ donner une valeur approchée de r ...

2/ vérifier que r appartient à l'intervalle [3/2, 2]

3/ vérifier que |g'(x)| < 2/9 sur ce même intervalle

4/ appliquer le TAF pour obtenir b/

...

[Terra65]

soit r tel que g(r) = r ...

1/ donner une valeur approchée de r ...

2/ vérifier que r appartient à l'intervalle [3/2, 2]

3/ vérifier que |g'(x)| < 2/9 sur ce même intervalle

4/ appliquer le TAF pour obtenir b/

...

j'ai déjà fais tout cela, ma fonction est lipschitzienne de rapport 2/9.

[mathelot]

j'ai déjà fais tout cela, ma fonction est lipschitzienne de rapport 2/9.

donc on conclue la distance de au point fixe est réduite d'un facteur 2/9 à chaque itération.

[Terra65]

donc on conclue la distance de au point fixe est réduite d'un facteur 2/9 à chaque itération.

... La question est pour tout n appartenant aux entiers naturels, valeur absolue(un+1-x1) < ou égale à 2/9*valeurabsolue(un-x1)

même avec vos indications j'ai pas l'impression de démontrer rigoureusement cet énoncé, ou soit je suis stupide et je comprends pas où vous voulez en venir.

[mathelot]

... La question est pour tout n appartenant aux entiers naturels, valeur absolue(un+1-x1) < ou égale à 2/9*valeurabsolue(un-x1)

même avec vos indications j'ai pas l'impression de démontrer rigoureusement cet énoncé, ou soit je suis stupide et je comprends pas où vous voulez en venir.

(un+1-x1) < ou égale à 2/9*valeurabsolue(un-x1)



mézalor



en combinant les deux


et de proche en proche


et pi, on conclue
la suite a pour limite 0 quand n tend vers l'infini

grosso modo , la fonction g est k-lipschitzienne dans un voisinage du point fixe (0<k<1),
on dit que le point fixe est attractif.

[zygomatique]

donc

....