Suite monotone convergente exo.

[Yozamu]

Bonjour à tous.

J'ai un exercice divisé en deux questions. Je suis bloqué à la premiere question.

Voici l'énoncé:
Soit Un=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n
1) prouver que Un est monotone puis convergente

Pour prouver que la suite est monotone, il faudrait que j'ai Un+1>Un ou Un+1
Une fois que j'aurais réussi à demontrer la monotonie, il me suffira de dire qu'une suite est convergente si elle est monotone + majorée ou minorée selon le sens de la monotonie...
Le probleme c'est que je n'arrive pas non plus à prouver qu'une suite comme cella là est majorée/minorée.

Merci d'avance

[arnaud32]

Un=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n
soit


tu dois pouvoir faire qq changement d'indice pour telescoper les termes

[Yozamu]

Je ne comprends pas ce qui est attendu là.

De plus, je ne comprends pas pourquoi, pour Un+1, k va de 1 a n+1 ET on a 1/(n+k+1). Je ne comprends pas bien pourquoi on rajoute un +1 dans l'expression ET un terme(quand k=n+1)

[arnaud32]

k'=k+1

[Yozamu]

D'accord je comprends le calcul mais je ne vois en quoi ça m'aide à résoudre le problème de la monotonie ou/et de la minoration/majoration?

[arnaud32]

quel est le signe de ?

[Yozamu]

Ah effectivement. Et donc de là que peut on dire?

Un+1=Un+1/(2n+1)-1/(2n+2)
Or 1/(2n+1)>1/(2n+2) donc Un+1>Un donc Un est monotone c'est cela?

Reste le probleme de la majoration...

[arnaud32]

elle est meme croissante.
tu as k>0 donc n+k>n>0 donc 1/(n+k)<1/n et U_n

[Yozamu]

Oui j'avais dit monotone mais je pensais croissante, d'ou le fait que j'ai parlé de majoration et non de minoration.

Je vois que k>0, et je comprends jusqu'à 1/(n+k)<1/n mais pourquoi Un

[arnaud32]

[Yozamu]

Je ne comprends pas comment tu trouves le n dans l'expression (1/n)*n
parce qu'a premiere vue j'aurais dit qu'on obtient 1/n *1 et non 1/n *n ...

[arnaud32]

(n fois)

[Yozamu]

Ah oui effectivement. C'est plus clair maintenant, merci.