Morphisme et produit direct

[Leccornia]

Bonsoir, j'ai un petit problème et j'y suis depuis un bon moment.

1) Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. On note i : H -> Aut(G) l'application h -> Int(h). Montrer que l'application (g,h) -> (gh,h) définit un isomorphisme de G Xi H sur G X H.
2) Soit p : Z/2Z -> S3 l'unique morphisme tel que p(1)=Int((12)). Montrer que p n'est pas trivial, mais que les deux groupes S3 Xp Z/2Z et S3 X Z/2Z sont isomorphes?

Pour la première question je comprend pas le sens de G Xi H, apparemment c'est le groupe GXH sous l'action i, mais je ne vois pas comment on prouve que l'application est un morphisme. J'aimerais juste avoir des pistes pour comprendre mieux l'exercice. Merci

[Ben314]

Salut,
A mon avis, ton , c'est le produit semi-direct de G par H via le morphisme i (de H dans Aut(G)) donc, par définition (d'un produit semi-direct), sur cet ensemble là, le produit est défini par

Alors que le , d'arrivé de ta fonction c'est le produit direct de G par H , par définition (d'un produit direct), sur cet ensemble là, le produit est défini par

[Ben314]

Salut,
A mon avis, ton , c'est le produit semi-direct de G par H via le morphisme i (de H dans Aut(G)) donc, par définition (d'un produit semi-direct), sur cet ensemble là, le produit est défini par

Alors que le , d'arrivé de ta fonction c'est le produit direct de G par H , par définition (d'un produit direct), sur cet ensemble là, le produit est défini par

[Leccornia]

Ah oui d'accord merci beaucoup, du coup c'est assez facile de démontré la première question finalement.
Mais pour la deuxième, je me demande si je suis partie sur la bonne voie. Je voulais chercher un groupe isomorphe à S3 et que Z/2Z soit un sous-groupe de celui-ci. Pour ensuite appliquer le résultat. Mais à part Z/3ZXZ/2Z je vois pas comment faire.

[Ben314]

Pour moi, le 2), c'est une simple application du 1) :

- Le groupe G, c'est S3, que l'on regarde comme le groupe des permutations de {1,2,3}

- Le sous groupe H de G, c'est {Id,(1 2)} [ou (1 2) désigne le 2-cycle=transposition] qui est clairement isomorphe à Z/2Z.

- L'application p, qui est celle notée i dans le 1) va de H (isomorphe à Z/2Z) dans Aut(S3) et, à un x de H associe l'identité sur G si x=1_G et l'application de conjugaison par (1 2) si x=(1 2).
L'application p n'est pas "triviale" car la conjugaison par (1 2) n'est pas égale à l'identité.
(Dans le contexte des produits semi directs, comme celui du 1), l'application i est "triviale" lorsque l'image de tout élément de H donne l'application identité dans Aut(H) : dans ce cas, le soit disant produit semi-direct est en fait égal au produit direct usuel)

- Le fait que le produit semi direct S3xpZ/2Z = S3xiH soit isomorphe au produit direct S3xZ/2Z = S3xH est très exactement ce que l'on a montré dans un cas plus général au 1)

[Leccornia]

Ah oui, merci beaucoup, je comprend mieux. Merci :)