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[malumziam]

Bonjour, vous pouvez m'aider pour la question c) svp ! J'ai essayé de faire Un+1-Un mais je tombe sur quelque chose de pas cohérent et j'ai essayé de faire une récurrence mais je suis bloquée après l'hypothèse de récurrence. Merci beaucoup !!

[gigamesh]

Je mets y pour u(n+1) et x pour u(n) (plus rapide à taper !)

y-x=(2x+1)/(x+1)-x = (2x+1)/(x+1)-x(x+1)/(x+1) = ( 2x+1 -x²-x )/(x+1)
y-x=(-x²+x+1)/(x+1) et comme tu sais que 1

[malumziam]

Ah d'accord, donc c'était presque ce que j'avais fait en fait merci !! Donc là je remplace x par 1 par exemple pour voire si y-x est positif ou négatif et si c'est positif c'est croissant ?

[gigamesh]

Deux questions, deux réponses :
* "je remplace x par 1 ?" ; non, il faut étudier le signe de (-x²+x+1)/(x+1) sur [1;2] car juste pour x=1 cela ne nous suffit pas.
* "si c'est positif c'est croissant" ; oui, si u(n+1)>u(n) pour tout entier n, alors pour tout entier n on a u(n+1)>u(n) ce qui est bien la définition d'une suite croissante.

[malumziam]

D'accord merci beaucoup ! Mais je ne vois pas comment étudier le signe, il faut faire un tableau de signe ?

[gigamesh]

Bah essayes tu verras bien :-)

Sinon tu poses g(x)=(-x²+x+1)/(x+1) et tu étudies la fonction, au pire.

[malumziam]

Si je fait le tableau de signe ya une valeur interdite a -1 et ensuite c'est toujours positif ? Je suis désoler je vois pas du tout comment étudier la fonction, je pense que c'est plutôt simple mais je m'en rappelle plus x))

[gigamesh]

Si je fait le tableau de signe ya une valeur interdite a -1 et ensuite c'est toujours positif ?

De quoi tu parles quand tu dis "c'est toujours positif" ?
Pour construire un tableau de signes, tu mets une ligne pour la variable x, une ligne pour le numérateur -x²+x+1, une ligne pour le dénominateur x+1, et une ligne pour le quotient.
Ensuite tu complètes la ligne -x²+x+1 (signe d'un trinôme du second degré), la ligne x+1 (signe d'une fonction affine), puis la igne du signe du quotient (ton cours de 4e sur le signe d'un quotient).

Je suis désoler je vois pas du tout comment étudier la fonction, je pense que c'est plutôt simple mais je m'en rappelle plus x))

Dérivée, factorisation de la dérivée, signe de la dérivée, variations, extrema, limites, zéros et signe.

[gigamesh]

Mais pour montrer que la suite u est croissante,
il est plus facile de montrer par récurrence que u(n) < u(n+1) pour tout n entier naturel,
en utilisant l'écriture f(x)=1 + 1/(x+1) dans l'hérédité.

[malumziam]

Oui pour le tableau c'est ce que j'ai fait, je parlais de la dernière ligne en fait ! D'accord, je m'en souvient, merci beaucoup !! Bonne journée !!