DM divisibilité

[Valentaline]

Bonjour, j'ai ce dm à faire, je pense qu'il faut utiliser la formule ma+nb=c mais je ne sais pas comment l'utiliser, j'espere que quelqu'un pourra m'aider, merci.
(désolé pour la photo mais au moins je ne fais pas de faute)

[keofran]

Le problème nécessite seulement de connaître la définition de la divisibilité. Le reste est du calcul astucieux.

Pour montrer que 2n-5 divise 2n+16, utilise l'égalité donnée en te ramenant à la définition.

Pour montrer que 2n-5 divise 21, fait "apparaître" 21 à partir de la division précédente.

L'ensemble E se détermine en résolvant l'équation en n.

Pour la question (b) il faut tester quelques valeurs de k et voir que certaines ne marchent pas.

Le problème est intéressant pour comprendre ce qu'est une condition nécessaire et une condition suffisante, mais ça manque un peu de clarté.

Compléments :
Lorsqu'on a
où A et B sont des propositions mathématiques (comme des égalités par exemple) et la flèche est le signe de l'implication (qui signifie "donc", "alors", "ainsi")
A est une condition suffisante pour réaliser B.
B est une condition nécessaire pour réaliser A. Autrement dit si B n'est pas réalisé, A ne peut pas l'être non plus, B est donc forcément nécessaire à la réalisation de A.

Dans le problème, qui me semble mal posé, on devrait nommé S l'ensemble des solutions.
Dans la question (a) on veut montrer que la condition nécessaire pour que n soit solution est que n appartienne à E.
Ce qui donne

La question (b) nous permet de voir en testant des valeurs de k que tous les éléments de E ne sont pas solutions. On n'a donc pas l'implication Ce qui veut dire qu'appartenir à E n'est pas une condition suffisante pour être solution (n n'est pas forcément un naturel).

[paquito]

Si est entier, nécessairement divise et à plus forte raison; or et donc divise et cela réduit le nombre de solutions possibles à 6 entiers naturels; Il reste à vérifier pour chaque entier naturel que le quotient est bien un entier relatif. L'énoncé est un peu trompeur!

[keofran]

Effectivement c'est mieux ainsi, plutôt que de résoudre une équation afin de trouver n en fonction de k, c'est plus judicieux de prendre des valeurs de n telles que 2n-5 divise 21 en commençant à n=0. On s'arrête à n=14 qui donne 23>21. Il y a 6 valeurs de n possibles qui constituent l'ensemble E.

[Valentaline]

Merci beaucoup pour votre aide, j'ai ait l'exercice pouvez vous me corriger ?
a. 2n-5 divise n+8 puisqu'il existe un entier relatif resultat de la fraction n+8/2n-5
Si 2n-5 divise n+8, alors 2n-5 divise 2(n+8) soit 2n+16. Donc 2n-5 divise 2n+16 puisque 2n+16 est un multiple de n+8 et que le resultat de n+8/2n-5 est un entier relatif.
On sait que si a divise b et c alors a divise mb+nc
Soit b=2k-5 et c=2k+16.
m=-1 et n=1: -1(2k-5)+1(2k+16) = 21 donc 2-5 divise 21.
Les diviseurs de 21 sont: -21, -7, -3, -1, 1, 3, 7, 21
On ajoute 5 puis on divise par 2 les resultats et on trouve -8,-1,1,2,3,4,6,13
Donc E={-8,-1,1,2,3,4,6,13} et ensuite j'ai remplacer n par ces nombres et je trouve a chaque fois des entiers relatifs. ?

[keofran]

C'est bien rédigé et c'est plus malin de partir des diviseurs de 21 que de prendre des valeurs successives pour n (comme je l'ai suggéré !).

Juste une erreur, l'ensemble E est composé d'entiers naturels.

Sinon mon premier message était un peu à l'ouest, désolé.

[zygomatique]

Merci beaucoup pour votre aide, j'ai ait l'exercice pouvez vous me corriger ?
a. 2n-5 divise n+8 puisqu'il existe un entier relatif resultat de la fraction n+8/2n-5
Si 2n-5 divise n+8, alors 2n-5 divise 2(n+8) soit 2n+16. Donc 2n-5 divise 2n+16 puisque 2n+16 est un multiple de n+8 et que le resultat de n+8/2n-5 est un entier relatif.
On sait que si a divise b et c alors a divise mb+nc
Soit b=2k-5 et c=2k+16.
m=-1 et n=1: -1(2k-5)+1(2k+16) = 21 donc 2-5 divise 21.
Les diviseurs de 21 sont: -21, -7, -3, -1, 1, 3, 7, 21
On ajoute 5 puis on divise par 2 les resultats et on trouve -8,-1,1,2,3,4,6,13
Donc E={-8,-1,1,2,3,4,6,13} et ensuite j'ai remplacer n par ces nombres et je trouve a chaque fois des entiers relatifs. ?

bof mal rédigé et plein de formalisme inutile ...

[keofran]

bof mal rédigé et plein de formalisme inutile ...

C'est peut-être un peu redondant au début. Mais une rédaction est bonne quand le raisonnement est expliqué avec des références aux formules de cours, ce qui est le cas.
De plus sur un forum, c'est plus facile avec des mots qu'avec TEX.

[Valentaline]

Il faut que le résultat de la fraction soit un entier relatif c'est ca ? Donc ca fonctionne pour n= -8,3,4,6 et 13 car pour n=-1 je trouve -1, pour n= 1 je trouve -3 et pour n=-2 je trouve -10 ? Donc finalement E={-8,3,4,6,13}

[paquito]

Il faut que le résultat de la fraction soit un entier relatif c'est ca ? Donc ca fonctionne pour n= -8,3,4,6 et 13 car pour n=-1 je trouve -1, pour n= 1 je trouve -3 et pour n=-2 je trouve -10 ? Donc finalement E={-8,3,4,6,13}

le résultat doit être un entier relatif, donc pour n=1; ça marche! Il y a 6 solutions.

[Valentaline]

Merci beaucoup !

[paquito]

le résultat doit être un entier relatif, donc pour n=1; ça marche! Il y a 6 solutions.

N=-8 n'et pas solution car -8<0. Et 2 est aussi solution. (2x2-5=-1)