Arithmétique

[Nabuchodonosor]

Bonjour,
Pouvez-vous me dire si mon exercice est correct.

Énoncé :

On considère pour tout entier naturel supérieur ou égal à 4, le nombre Un défini par Un = 2n² -7n -4

1) Montrer que pour tout entier naturel >= à 4, Un est un entier naturel

2) Montrer que pour tout entier naturel >= à 4, Un est divisible par n-4, puis donner un autre diviseur de Un

Ma réponse :


1)

Un = 2n² -7n -4 avec n>= 4 et Un >=0

Initialisation:
U4 = 2(4)² -7(4) -4 => U4 = 32 - 32 => U4 = 0, la propriété est initialisée au rang 4.

Hérédité:
soit n>=4, on suppose que pour tout entier naturel k tel que 4 =< k =< n , Uk >= 0

Factorisons l'expression 2n² -7n -4 , on obtient (n-4)(2n+1)
Au rang n+1 nous avons :
U(n+1) = ((n+1)-4)(2(n+1)+1) = (n-3)(2n+3), (n-3) et (2n+3) sont >=0 donc la propriété est héreditaire.

Conclusion :
La propriété est vraie au rang 4 et elle est héréditaire, donc pour tout entier naturel n>=4 on a Un >=0.

2)
a)
La factorisation de Un nous donne : Un = (n-4)(2n+1)

(2n+1) est un entier naturel, donc Un est bien divisible par (n-4)

2)
b)
Pour donner un autre diviseur à Un, je cherche la deuxième racine de cette équation.
(je passe l'écriture du discriminant ...)

L'autre diviseur de Un est - 1/2

[zygomatique]

salut

misère de misère ...

est un trinome du second degré (en n) dont on connaît le signe depuis la première ....

donc nul besoin d'une récurrence qui d'autre part est du grand n'importe quoi ...

si alors il est trivial que ses diviseurs sont n - 4 et 2n + 1

....

[Nabuchodonosor]

Comment je démontre le 1) alors ...

Pour le 2)
je factorise, donc Un = (n-4)(2n+1)
je dis que (2n+1) est un entier naturel, donc Un est divisible par (n-4)
Est-ce suffisant ?

[paquito]

Comment je démontre le 1) alors ...

Pour le 2)
je factorise, donc Un = (n-4)(2n+1)
je dis que (2n+1) est un entier naturel, donc Un est divisible par (n-4)
Est-ce suffisant ?

Ta factorisation met en évidence 2 diviseurs: n-4 et 2n+1, c'est une évidence!

[Nabuchodonosor]

Ta factorisation met en évidence 2 diviseurs: n-4 et 2n+1, c'est une évidence!

C'est évident, mais au niveau de la rédaction pour le 1), je ne sais pas comment formuler ...

[paquito]

Salut,

zygomatique t'as dis que la récurrence n'était pas utile.

est un polynôme de degré en ; étudions son signe:

; ses racines sont et donc il est positif pour . Point final.

[zygomatique]

:zen:

[Nabuchodonosor]

Le problème n'est pas la factorisation que je pense avoir assimilé depuis la seconde.
C'est la manière de présenter/répondre à l'exercice.
Puis-je déjà factoriser dans le 1) et si oui, que dire dans le 2) puisqu'il est évident après avoir factorisé que l'expression est divisible par (n-4) !

[paquito]

Tu as donc il existe bien un entier tel que , donc est bien divisible par ;

Tu as donc il existe bien un entier tel que donc est bien divisible par ;

Mais tout cela est évident dès que tu as écrit: ; si tu écris 6=2x3, tu conclus directement que 6 est divisible par 2 et par 3, non?

Pour , c'est pareil.

[zygomatique]

Le problème n'est pas la factorisation que je pense avoir assimilé depuis la seconde.
C'est la manière de présenter/répondre à l'exercice.
Puis-je déjà factoriser dans le 1) et si oui, que dire dans le 2) puisqu'il est évident après avoir factorisé que l'expression est divisible par (n-4) !

parce que ton problème est mal posé ... et répondre à 1/ le plus simplement possible consiste à répondre à 2/ en même temps ....

parce que faire une récurrence alors que l'exercice ne s'y prête pas c'est nul ....

vois avec ton prof ce qu'il attend à la question 1/ ....