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[Gattaca]

Je me permets d’écrire sur ce forum afin de soumettre le problème mathématique auquel je suis confronté.

Voici comment je peux présenter le problème.

Imaginons que dix personnes entrent dans une salle. Une fois que ces dix personnes sont entrées, j’affiche l’information qu’une fête se déroule dans cette salle. À partir de ce moment, on peut imaginer que des personnes extérieures à cette fête, mais qui verront cette information, vont s’empresser d’aller dans cette salle afin de participer à la fête. Par conséquent, le nombre de personnes dans la salle va augmenter dans le temps.

Toujours est-il qu’à un moment, sentant la fatigue les gagner, des personnes vont commencer à partir. Or, c’est précisément sur ce point que je suis dans l’impasse.

La formule mathématique que je cherche doit prendre en compte le nombre d’entrées et de sorties en se basant sur le facteur temps afin de détecter le moment où l’on constate une accélération du nombre de sortie par rapport au nombre d’entrées afin d’envoyer l’information suivante : la fête est finie et donc, d’inviter les personnes encore présentes à sortir.
Afin de me faire mieux comprendre, je propose l’exemple suivant.

10 personnes entrent dans la salle en une heure : j’envoie donc l’information suivante : la fête commence.

2 heures après, nous avons dix personnes de plus. Là par exemple, on constate qu’il a fallu 2 heures pour avoir 10 personnes de plus contrairement à la première fois où ce nombre avait été atteint en 1 heure.


Une heure passe.
Nous constatons que 3 personnes quittent la salle en ¼ d’heures. ¼ d’heures après, quatre autres personnes sortent également. Il y a donc une accélération du nombre de personnes qui sortent par rapport au temps qui a fallu pour les faire entrer. J’envoie donc l’information suivante : la fête est finie.


La formule mathématique que je cherche devrait donc à ce moment me dire : il est temps de dire que la fête est terminée afin d’inviter les personnes encore présentes à quitter les lieux.

Je serai très reconnaissant envers les personnes qui pourraient m’aider à trouver cette formule ou me donner des pistes de recherche.

Gattaca

[Skullkid]

Bonjour, tout d'abord il faut bien comprendre que ce genre de problème n'aura jamais de solution unique. C'est à toi de définir des critères qui font que, selon toi, une solution est acceptable ou non, plus ou moins bonne, etc.

Histoire de mathématiser un peu tout ça, on peut appeler N(t) le nombre de personnes dans la salle à l'instant t. Ce que tu as à disposition c'est les valeurs de N(t) sur intervalle de la forme ]-inf,t0] où t0 est "l'instant présent". Avec cette information tu veux pouvoir décider si, à t0, la fête commence ou se termine.

L'approche la plus intuitive à mon avis est de construire un indicateur I(t) à partir de N, de sorte qu'on décide qu'il y a fête tant que I est au-dessus d'une certaine valeur I0 (dès que I atteint I0, on décide que la fête commence, dès que I tombre en dessous de I0, on décide que la fête se termine). Tout le problème est alors de construire un I qui te satisfait et de poser un I0 adéquat.

Le cas le plus simple est de prendre I = N. Autrement dit, on considère qu'il y a fête que lorsqu'il y a suffisamment de gens dans la salle. C'est simple mais ça ne tient pas compte du rythme auquel les gens rentrent et sortent de la salle.

Une solution plus élaborée est de prendre I = a*N + b*N' avec a et b des coefficients bien choisis et N' la dérivée de N par rapport au temps (si tu connais N en temps discret, la dérivée se transforme en différence entre deux instants proches). C'est mieux mais ça ne tient compte que de ce qui se passe "localement" puisque la dérivée ne donne que des infos sur la variation "instantanée" de N. Donc on peut encore améliorer en rajoutant d'autres termes, par exemple I = a*N + b*N' + c*;)N où ;)N est la variation N pendant une certaine durée précédant t0 (par exemple deux heures), comme ça on tient compte de ce qui se passe sur certaines fenêtres de temps. Et puis peut-être qu'on préfère s'intéresser aux variations relatives de N plutôt qu'à ses variations absolues, auquel cas on peut préférer une formule du type I = a*N + b*N'/N + c*;)N/N ... On peut complexifier ad nauseam (rajouter des puissances, rajouter des variations sur d'autres intervalles de temps, prendre en compte des instants particuliers comme le début de la fête en cours ou le maximum de N, etc).

Ce que je commencerais par faire à ta place ce serait de me constituer un ensemble de "cas de figure" qui décrivent des situations (c'est-à-dire des fonctions N) différentes et pour lesquelles tu sais quand tu veux que la fête commence et se termine. À partir de ces cas de figure tu peux essayer de constuire des fonctions I en partant des formules les plus simples puis en compliquant par essais et erreurs jusqu'à que l'indicateur adopte le comportement désiré sur l'ensemble des cas de figure.

Si tu envisages un grand nombre de cas de figure et/ou des formules qui peuvent devenir très complexes, ça pourrait t'être utile de chercher du côté des algorithmes génétiques.

[Gattaca]

Merci beaucoup Skullkid pour ta réponse rapide et précise. Celle-ci va m’être d’une grande aide. Avec ces quelques formules que tu me présentes, et surtout la logique qui s’y cache, je pense être en mesure de pouvoir arriver à un résultat satisfaisant. Je vais donc étudier de près ce que tu me proposes et faire plusieurs simulations.

Encore Merci

Gattaca.