Exo arithmétique ( qq pistes )

[mounio93]

Je suis sur un exo depuis quelques jours ,et je ne trouve aucune piste ...
Pourriez vous m'aider ?
Voici l'énnoncé:

soit (a,b,c) € Z^3 et k un entier naturel impair et n un entier naturel tels que a^n+kb=b^n+kc=c^n+ka montrez que a=b=c

[Groucho]

Je suis sur un exo depuis quelques jours ,et je ne trouve aucune piste ...
Pourriez vous m'aider ?
Voici l'énnoncé:

soit (a,b,c) € Z^3 et k un entier naturel impair et n un entier naturel tels que a^n+kb=b^n+kc=c^n+ka montrez que a=b=c

Voici juste une piste (je n'ai pas vérifié quelle aboutissait):

Si a, b et c sont tous les 3 positifs, c'est facile. On a :
a^n-b^n=k(c-b)
b^n-c^n=k(a-c)
c^n-a^n=k(a-b)

On peut supposer que soit a>=b>=c, soit a>=c>=b.

Dans le premier cas on voit que, si par exemple a>b, k(c-b)>0 et donc c0 (seconde équation) et donc k>0 contradiction.
Le second cas se traite de la même façon.


Il faudrait maintenant voir les différents cas possibles (a>0, b et c <0, etc.) et comme c'est assez ennuyeux je te laisse faire. Si ça marche , c'est assez étonnant car les hypothèses a, b c dans Z ne sont pas utilisées ...

Es tu sur que c'est k qu'il faut supposer impair ? J'ai l'impression que c'est le fait que n est impair qui serait utile.

[Groucho]

Suite de mes dernières suggestions.

En fait, la piste suggérée ne peut pas aboutir. Ca marche, à peu près comme je le dis dans le cas où n est impair, car la fonction x donne x^n est croissante. Si n est pair, il faut faire un autre raisonnement, et cette fois, utiliser toutes les hypothèses. je te donne rapidement le cas n=2, tu devrais pouvoir conclure dans tous les cas avec un peu de travail.
En reprenant les équations, en les multipliant, on obtient

(a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2-a^2)=k^3(c-b)(a-c)(b-a)

et en simplifiant (si on suppose (c-b)(a-c)(b-a)/=0)
(a+b)(b+c)(c+a)=-k^3

Chacun des facteurs (a+b), (b+c) et (c+a) doit donc être impair, ce qui implique que a et b sont de parité différente, de même que b et c et que c et a, ce qui est impossible.

[mounio93]

Je pense que tu as fais presque 99% du boulot , je te remercie :
En tout cas voila là réponse finale ( bien rédigée) :
Soient a,b,c et k et n vérifiant les hypothèses de l’énoncé :
Si n est impair :
quitte à faire une permutation sur (a,b,c) on peut supposer que a>=b >=c :
Supposons maintenant NON(a=b et b=c) :
si (a<>b et b<>c et a<>c) alors a>b >c or a^n-b^n=k(c-b) donc c>b ( absurde) (ici on
utilisé l'hypothese n impair vu que l'on a dit que si a<>b alors a^n<>b^n) !!!!!!
si ( (a=b et b<>c ) alors a^n-b^n=k(c-b) implique c=b( puisque k<>0) (absurde)
si (a<>b et b=c) alors b^n-c^n=k(a-c) implique a=c donc a=b (absurde)

donc a=b=c

si n est pair:
commençons par le cas n=2 , on multiplie les 3 égalités on obtient
(a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2-a^2)=k^3(c-b)(a-c)(b-a)
si (a<>b et b<>c et a<>c) alors (a+b)(b+c)(c+a)=-k^3 Chacun des facteurs (a+b), (b+c) et (c+a) doit donc être impair ce qui implique que a et b sont de parité différente, de même que b et c et que c et a, ce qui est absurde
si ( (a=b et b<>c ) alors a^n-b^n=k(c-b) implique c=b( puisque k<>0) (absurde)
si (a<>b et b=c) alors b^n-c^n=k(a-c) implique a=c donc a=b (absurde)
(Remarquer que ces 2 cas sont exactement les mêmes que lorsque n est impair , autrement dit l’hypothèse sur n est inutile pour prouver ces deux cas)
donc a=b=c


si n est pair et different de zero et deux) , alors n=2p ( p >1)
on remplace a par a^p et b par b^p et c par c^p , on obtient par le meme raisonnement du cas n=2 que a^p=b^p=c^p .
si p est impair alors a=b=c ( la fonction x=x^p est injective lorsque p est impair)
si p est pair alors au moins deux parmis les trois entiers a,b,c sont égaux
si a=b=c , on a le bon résultat
sinon quitte à faire une permutation sur (a,b,c) on suppose que a=b et b<>c
alors a^n-b^n=k(c-b) implique b=c ( absurde)

d'ou a=b=c

conclusion
a=b=c

[Groucho]

1. On peut commencer par remarquer que, soit a, b et c sont deux à deux distincts, soit ils sont tous égaux.

2. Je ne pense pas sur que l'on puisse supposer a>b>c. En effet, on peut supposer que a est le plus grand des 3. Mais ensuite, on n'a plus le choix (a fixé, les hypothèses ne sont plus symétriques en b et c). Il faut donc considérer 2 cas.

3. Dans le cas n pair, il est inutile de traiter le cas n=2 à part. Je l'avais fait uniquement pour te donner la méthode : si n=2m, a^n-b^n=(a^m+b^m)(a^m-b^m), et (a^m-b^m)/a-b est un entier. Par ailleurs, (a^m+b^m) est impair si et seulement si a et b ont des parités différentes.

De plus, je ne comprends pas ton raisonnement pour n pair supérieur à 2. Comment remplacer a par a^p, b par b^p etc. ? Tu n'as pas les hypothèses correspondantes.

[mounio93]

1. On peut commencer par remarquer que, soit a, b et c sont deux à deux distincts, soit ils sont tous égaux.

2. Je ne pense pas sur que l'on puisse supposer a>b>c. En effet, on peut supposer que a est le plus grand des 3. Mais ensuite, on n'a plus le choix (a fixé, les hypothèses ne sont plus symétriques en b et c). Il faut donc considérer 2 cas.

3. Dans le cas n pair, il est inutile de traiter le cas n=2 à part. Je l'avais fait uniquement pour te donner la méthode : si n=2m, a^n-b^n=(a^m+b^m)(a^m-b^m), et (a^m-b^m)/a-b est un entier. Par ailleurs, (a^m+b^m) est impair si et seulement si a et b ont des parités différentes.

De plus, je ne comprends pas ton raisonnement pour n pair supérieur à 2. Comment remplacer a par a^p, b par b^p etc. ? Tu n'as pas les hypothèses correspondantes.

1/ Oui d'accord soit tous égaux soit tous distincts! .....
2/ ta raison! Pour des permutations circulaires ça marche ( a>=b>=c , c>=a>=b, b>=c>=a)
mais pour les trois autres permutations ,c'est faux ... du coup on peut pas supposer que a>=b>=c
3/ Ah oui ! j'avais oublier le fait qu'il y avait ''b+k c '' dans les équations !!! donc comme tu le disais on n'a plus les memes hypotheses !! ( j'étais un peu maladroit et rapide ....)
Dans tout les cas ,merci