Justification d'un encadrement

[samirfostok]

bonjour les amis :happy2:

j'étais en train de résoudre un problème de mathématiques et j'ai été stopé à la question suivante:

Justifier l'encadrement: quelque soit tete dans [0, pi/2] (2 teta)/pi < sin(teta) < teta

merci pour vos aides!

[Black Jack]

Attention, pour t dans [0 ; pi/2], les inégalités doivent être larges : 2t/Pi <= sin(t) <= t



f(t) = sin(t) - 2t/Pi (avec t dans [0 ; Pi/2])

f'(t) = cos(t) - 2/Pi
f''(t) = - sin(t)

f''(t) < 0 sur ]0 ; Pi/2] --> f'(t) est décroissante

f'(t) > 0 pour t dans [0 ; arcos(2/Pi)[
f'(t) = 0 pour t = arcos(2/Pi)
f'(t) < 0 pour t dans ]arcos(2/Pi) ; Pi/2]

f(t) est max pour t = arccos(2/Pi), ce max vaut 0,21... > 0

f(0) = 0
f(Pi/2) = 1 - 1 = 0

De tout ce qui précéde (variations de f) on peut conclure que f(t) >= 0

sin(t) - 2t/Pi >=0

2t/Pi <= sin(t) (pour t dans [0 ; Pi/2]))
*****
g(t) = sin(t) - t sur [0 ; Pi/2]

Etudier les variations de g(t) ...

et conclure que g(t) <= 0 ...

...

:zen:

[adrien69]

Pour l'inégalité de droite il y a encore plus simple.

Un dessin avec le cercle.

Theta c'est la longueur de l'arc de cercle, qui est plus grande que la corde qui intercepte 0 et le point de theta. Qui est elle aussi plus grande que son projeté sur l'axe des ordonnées qui est sin(theta)

[Black Jack]

Pour l'inégalité de droite il y a encore plus simple.

Un dessin avec le cercle.

Theta c'est la longueur de l'arc de cercle, qui est plus grande que la corde qui intercepte 0 et le point de theta. Qui est elle aussi plus grande que son projeté sur l'axe des ordonnées qui est sin(theta)

Oui, bien que pour l'inégalité de droite c'est immédiat aussi par la voie que j'ai indiquée.

g(t) = sin(t) - t sur [0 ; Pi/2]
g'(t) = cos(t) - 1 g(t) <= 0, sin(t) - t <= 0 , sin(t) < t

:zen:

[deltab]

Bonjour.

Attention aux vices de formes, l'inégalité n'est-elle pas utilisée pour montrer que ? Cette limite est utilisée pour montrer que , ceci bien sûr si l'on introduit les fonctions circulaires à partir de cercle trigonométrique comme on le faisait dans le temps au lycée (Terminale).

[barbu23]

Pour montrer l'inégalité de droite, on utilise le TAF, sur l'intervalle .

[deltab]

Bonjour.

Pour montrer l'inégalité de droite, on utilise le TAF, sur l'intervalle .

qui lui fait intervenir la dérivée de la fonction sinus.

[barbu23]

Bonjour.


qui lui fait intervenir la dérivée de la fonction sinus.

Je n'ai pas compris ta phrase. Je m'excuse. :happy3:
Ecris en langage mathématique pour que je puisse te comprendre.

[adrien69]

Je n'ai pas compris ta phrase. Je m'excuse. :happy3:
Ecris en langage mathématique pour que je puisse te comprendre.

Sa phrase est impossible à écrire avec des quantificateurs...
C'est un peu comme si tu demandais de traduire "coupez-moi une part de gâteau" en langage mathématique.

[Black Jack]

Problème éternel de la poule et l'oeuf.

Qu'est ce qui a été enseigné préalablement, avant la pose de l'exercice ?

Si les variations de fonctions et les dérivées (entre autres des fonctions trigonométriques) faisaient partie du lot, aucune raison de ne pas s'en servir pour résoudre l'exercice.

J'ose espérer qu'une question posée dans la rubrique "supérieur" suppose que les notions enseignées en Secondaire ont été vues.

:zen:

[deltab]

Bonjour.

Je n'ai pas compris ta phrase. Je m'excuse. :happy3:
Ecris en langage mathématique pour que je puisse te comprendre.

"qui"=TAF en référence à

qui lui fait intervenir la dérivée de la fonction sinus.