Châines de Markov

[shami]

Bonjour a touts,
j'ai une problème de maths à résoudre mais je sais pas comme le faire...

LE PROBLÈME:

Esseim de robots dans un labyrinthe

On relâche un essaim des micro-robots dans un labyrinthe constitué de 5 chambres. Chaque minute, les robots peuvent décider de rester dans leur chambre ou bien de changer rapidement de chambre. Certains couloirs sont à sens unique, d'autres sont à double sens. Les parcours possibles sont visualisés dans le graphe ci-contre. Les flèches sont orientées dans le sens du parcours. Entre chaque deux observations (à une minute d'intervalle), les robots dans chaque chambre peuvent emprunter juste un couloir, ou rester dans leur chambre. Leur décision s'effectue à probabilité égale parmi toutes les options.

Ainsi, s'il y a 300 robots dans la chambre 2 (à trois flèches sortantes), en un minute un tiers de robots (100 robots) restera dans la chambre 2, un tiers se trouvera dans la chambre 1 et un tiers se déplacera dans la chambre 4.

On relâche au totale 230 robots, disposé arbitrairement dans le cinq chambres. Après un certain temps d'évolution, le nombre de robots par chambre se stabilisera en un état dit stationnaire.

QUESTION:
On pose 46 robots dans chaque chambre, 46 x 5 = 230. Calculez exactement le nombre des robots dans chaque chambre dans la distribution stationnaire. Est-ce que la distribution stationnaire dépendra de la distribution initiale des 230 robots dans le cinque chambres, si on parte d'une autre distribution initiale ? Justifiez.


Est-que quelqu'un peut m'aider?

Merci

[Doraki]

Commence par considérer 1 seul robot. Prend X0 = ce que tu veux et appelle Xn la chambre où est le robot après t minutes.
Tu peux dire quoi à propos de (Xn) ?

[zygomatique]

salut

il suffit d'écrire la matrice de transition 5 * 5 ici qui décrit la quantité de robots dans chaque pièce à chaque minute ...

[wserdx]

Bonjour,

Je pense que ton exercice consiste à exprimer les relations (linéaires) entre le contenu des chambres à l'instant et ceux à l'instant
Si tu écris le contenu des chambres sous forme vectorielle (une composante par chambre) alors les relations s'écrivent de façon matricielle:
où est la matrice des coefficients (que tu peux déduire du schéma de transition).
Un état stationnaire sera caractérisé par , et sera donc solution de l'équation
ou encore avec matrice identité (dimension 5)
ou encore vecteur propre de associé à la valeur propre 1.

Je me permets un commentaire : est-ce qu'un tiers de micro-robot a un sens ?
Si oui, ça veut dire qu'on peut les remplacer par un fluide ou un gaz (molécules) pour modéliser le problème. Dans ce cas l'état stationnaire a un sens et est l'état vers lequel on s'approche "à l'infini".
Si non, le problème est probabiliste au niveau de chaque robot, et par exemple s'il y a trois robots dans une chambre avec trois issues possibles, il est possible que les trois robots choisissent tous les trois la même sortie. Dans ce cas l'état du système oscille autour de l'état stationnaire mais ne se stabilise pas.