Aide : intersection de plans

[manue24]

Bonjour !

Je suis en train de revoir le chapitre sur la géométrie dans l'espace pour le bac, mais la je bloque sur quelque chose : étudier l'intersection de 2 plans P et P' d'équations cartésiennes données...
J'ai un exemple mais je préfère que vous me l'expliquiez de façon théoriques pour mieux que je comprennes :

Donc on a et

Donc je commence par prendre un vecteur normal à chaque plan :

pour et pour

S'ils sont colinéaires alors ou mais ce n'est pas ce cas que je comprends pas...

Donc s'ils ne sont pas colinéaires, alors :



Donc : les coordonnées de M respectent :



Mais après je vois plus trop comment faire en fait, puisqu'on a un système de 2 équations à trois inconnues, et je voie pas trop comment tomber sur une representation paramétrique d'une droite (sans utiliser les formules de Cramer qui ne sont pas au programme de terminale, du moins je l'espère ^^'...)

Merci !

[paquito]

Ca serait plus clair avec un exemple numérique! donne moi 2 équations de plans: je te montrerais la démarche.

[manue24]

Okay, voici un exemple (tiré d'un exo du prof) :

Soit et

Etudier l'intersection de ces 2 plans.

Voilà

[manue24]

Donc la on peut déjà dire qu'ils se croisent en une droite car :

un vecteur directeur de (respectivement de ) est (respectivement ) et ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires mais après je sais pas trop comment faire..

[chan79]

Okay, voici un exemple (tiré d'un exo du prof) :

Soit et

Etudier l'intersection de ces 2 plans.

Voilà

salut
x=10-1y
y=0+1y
z=6-1y
L'intersection est la droite passant par le point A(10;0;6) et dirigée par le vecteur (-1,1,-1)
On peut obtenir un vecteur directeur en calculant le produit vectoriel des vecteurs normaux (tu ne l'as peut-être pas vu...)

[paquito]

Il faut résoudre:
(1) x+y-10=0
(2) y+z-6=0;

on vas choisir y comme paramètre puisqu'il intervient dans les 2 équations;
de (1), on tire x=-y+10;
de (2), on tire z=-y+6,
d'où finalement:

x=-y+10
y=y
z=-y+6, et les 2 plans se coupe suivant la droite (D) passant par A(10; 0; 6) et dirigée par; donc il faut choisir une variable comme paramètre et exprimer les 2 autres en fonction de ce paramètre. Ca marche toujours sauf si les 2 plans sont //; à étudier en premier avec les vecteurs normaux.

[manue24]

D'accoooord ! Merci beaucoup j'ai compris, j'avais pas pensé à prendre une des coordonnées comme paramètre ^^

Merci bonne soirée !