Équation d'une droite d'intersection entre 2 plans

[lussid]

Bonjour

J'ai un petit problème que je n'arrive pas à résoudre...

J'ai 3 plans dont je dois trouver la configuration.

À priori, j'ai les équations algébriques soit...

P1 : 4y -z = -4
P2 : 3x - 2y = 5
P3 : 2x - z = 2

Les vecteurs normaux à ces plans sont

n1 = (0,4,-1)
n1 = (3, -2, 0)
n3 = (2, 0, -1)

On voit d'abord que les vecteurs normaux aux plans ne sont pas parallèles, car

n1 != k n2 != l n3 où k, l eléments de Réels

Je test ensuite la dépendance linéaire des trois vecteurs en calculant le déterminant de cette matrice.
|0 4 -1|
|3 -2 0| = 0
|2 0 -1|

Donc, les trois vecteurs sont linéairement dépendants.


Afin d'obtenir une solution aux équations, j'insère le tout dans une matrice, soit...
|0 4 -1 -4|
|3 -2 0 5|
|2 0 -1 2|

Je la modifie avec la méthode Gauss-Jordan afin d'obtenir une ERL, sans mettre les calculs, cela me donne
|1 0 -1/2 1|
|0 1 -1/4 -1|
|0 0 0 0|

Puisque le rang de la matrice augmentée est égal au rang de la matrice des coefficients, on a une infinité de solutions.

Puisque aucun vecteur normal n'est parallèle à aucun autre et que les trois vecteurs sont linéairement dépendants, et qu'il existe une infinité de solutions, les trois plans se rencontrent 3 à 3, en une droite d'équation quelconque.

Les équations données par la matrice ERL sont

x - 1/2z = 1
y - 1/4z = -1

Ma question est : Comment trouver l'équation de la droite qui fait office d'intersection entre ces trois plans??

Merci beaucoup de votre aide!

P.S. La réponse du manuel :


x = 1 + 2k
y = -1 + k
z = 4k

Merci à régis183, la première étape serait de faire n1^n2 (ou n'importe quel produit vectoriel entre les vecteurs normaux). Cela nous donne le vecteur directeur de la droite soit

(2, 1 ,4)

D'où viennent le 1 dans x = 1+2k et le -1 dans y = -1+k?

[regis183]

dans l'espace une équation de droite se présente sous forme d'un système de 2 équations de plans ( donc ici rien à faire), ou alors d'un point et d'un vecteur directeur. Pour le point tu essayes par exemple x=0 d'où y,z. Pour le vecteur directeur tu fais n1^n2 par exemple.

Au fait, c'est quoi une ERL?

[lussid]

dans l'espace une équation de droite se présente sous forme d'un système de 2 équations de plans ( donc ici rien à faire), ou alors d'un point et d'un vecteur directeur. Pour le point tu essayes par exemple x=0 d'où y,z. Pour le vecteur directeur tu fais n1^n2 par exemple.

Au fait, c'est quoi une ERL?

ERL c'est un abbréviation pour une matrice Échelonnée Réduite Ligne qui satisfait aux conditions :

1) Sur chaque ligne non-nulle, le premier élément est 1.
2) Dans la colonne du premier élément non nul de chaque ligne, il n'y a, hormis cet élément, que des 0.
3) Le premier élément non nul d'une ligne est toujours à droite du premier élément non nul de la ligne précédente.
4)Toutes les lignes nulles (s'il y en a) sont en dessous des lignes non nulles.

Et de plus, c'est vrai que n1^n2 me donne le vecteur direction de la droite.

n1^n2 = (1/2 , 1/4, 1) * 4 = (2, 1, 4)

Dans le manuel, la réponse est

x = 1 + 2k
y = -1+k
z = 4k

où k élément de réels

Je comprend maintenant d'où sortent les coefficients devant les k, mais je ne vois pas comment le "1" dans x=1+2k et le "-1" dans y=-1+k se sont retrouvés là. Je peux figurer que c'est à partir de la ERL :

|1 0 -1/2 1|
|0 1 -1/4 -1|
|0 0 0 0|

Mais je ne comprend pas pourquoi...

[emdro]

Bonjour,

A partir de

x - 1/2z = 1
y - 1/4z = -1

il n'y a plus de difficulté:

Les points d'intersection vérifient le système constitué des deux équations ci-dessus.

D'où

x =1/2z + 1
y = 1/4z + -1

En ajoutant l'équation z=z (ASTUCE!), cela donne:


x =1/2z + 1
y = 1/4z + -1
z=z

ou si tu préfères:
x =1/2t+ 1
y = 1/4t + -1
z=t

Et tu reconnais une représentation paramétrique de la droite passant par le point de coordonnées (1;-1;0) et dirigée par u(1/2;1/4;1).

ca, c'est la méthode classique.

Maintenant, pour plus de simplicité, ils ont simplement posé z=4k.
D'où:
x = 1 + 2k
y = -1 + k
z = 4k

[lussid]

Merci emdro
C'est évident vu de cette façon

[gianpf]

Le déterminant :

|0 4 -1|
|3 -2 0|
|2 0 -1|

est égal à 8, il me semble

et non pas à 0