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par **Casey** » 19 Mai 2014, 12:01

Bonjour,
j'aurais besoin d'aide pour cette exercice:

Un carré d'aire 1 m2 est divisé en 9 carrés égaux comme indiqué sur la figure ci-contre. On colorie le carré central.Les huit carrés restant sont à leur tour divisés en 9 carrés identique et on clore le carré centrale. On poursuit ainsi ce principe de coloriage avec les carrés restants. Pour tout n non nul, an est l'aire coloriée en m² après n coloriages.

1) Faire un schéma avec les deux premiers coloriage
Je l'ai fais, c'est tout bon.

2)Montrer que pour tout entier n non nul, a(n+1)=(8/9)*an + (1/9).
Chaque coloriage consiste à colorier 1/9 de la partie non coloriée. Donc la suite est de raison 1/9.
Donc a(n+1)=an+(1/9)*(1-an)
=an+(1/9)-(1/9)*an
=(8/9)*an + (1/9)

3) Faire une représentation graphique de la suite (an) dans un repère orthonormé en prenant 9cm par unité ( on utilisera la droite d'équation y=x)
On a U1=(1/9) et U(n+1)=(8/9)*an + (1/9) donc on peut utiliser Cf mais comment pourriez vous me dire comment fait on pour déterminer Cf? Je bloque ici..

4)En déduire une conjecture de la limite de la suite (an)
Lim an = 1
(x-> +infini)

5) Déterminer à partir de combien d'étapes on aura colorié 99% du carré initial. On justifiera en décrivant la méthode utilisé.
Ici je suis bloquée également je ne sais pas comment faire.

Pourriez vous me dire si ce que j'ai déjà fais est juste et m'aider pour les questions que je n'arrive pas. Merci d'avance

par **Monsieur23** » 19 Mai 2014, 12:05

Aloha,

C'est OK pour la question 2. Pour la troisième, il faut que tu trouves la fonction f telle que

. Que vaut f ? Du coup, tu peux tracer se courbe!

Pour la question 4, est-ce que tu peux donner le tableau de valeurs de la suite a_n ? Ça te permettra de voir à quel moment tu dépasses 0,99.

par **Casey** » 19 Mai 2014, 12:15

3) f(an)= (8/9)x + (1/9) ? Je ne suis pas sur ..

4) Oui je suis en train de faire ça :)

par **Casey** » 19 Mai 2014, 12:21

Je n'arrive pas non plus à faire le tableau de valeurs de la suite...

par **Monsieur23** » 19 Mai 2014, 12:23

Casey a écrit:3) f(an)= (8/9)x + (1/9) ? Je ne suis pas sur ..

Oui, enfin c'est f(x) = (8/9)x + (1/9) !

Est-ce que tu peux dessiner la courbe de f, et la courbe d'équation y=x sur un schéma ? Ensuite, tu pourras placer les points de la suite.

par **Casey** » 19 Mai 2014, 12:31

Oui, j'ai tracé les deux courbes sur GeoGebra, ensuite je place les points de la suite par rapport à ces deux courbes? Càd je place d'abord U1 qui est 1/9 je le rapporte sur la droite f(x) est ensuite sur la droite des ordonnés, ensuite je replace ce point sur la droite y=x pour le replacer sur la droites des abscisses et ect.. est ce juste?

par **Casey** » 19 Mai 2014, 12:32

Sur l'axe des ordonnés et l'axe des abscisses et non pas droite, désolée!

par **Monsieur23** » 19 Mai 2014, 12:43

Casey a écrit:Oui, j'ai tracé les deux courbes sur GeoGebra, ensuite je place les points de la suite par rapport à ces deux courbes? Càd je place d'abord U1 qui est 1/9 je le rapporte sur la droite f(x) est ensuite sur la droite des ordonnés, ensuite je replace ce point sur la droite y=x pour le replacer sur la droites des abscisses et ect.. est ce juste?

Ouais c'est bien ça. Le dessin devrait te donner un "escalier" ou un "escargot".

Pour la dernière question, tu dois avoir moyen, sur ta calculatrice, ou sur Géogébra, de dresser le tableau de valeurs de la suite.

Sinon, tu peux toujours faire une lecture graphique, mais je ne suis pas sûr que la précision soit suffisante

par **Casey** » 19 Mai 2014, 12:52

Ah oui oui exact, je vais voir ça!
Mais je viens de reflechir à une solution, est ce qu'il est possible de transformer cette suite arithmétique en une suite géométrique? Je m'explique, on créer une autre suite que l'on va appeller b(n) par exemple, et qui fait que b(n)= a(n)-1 ?
C'est peut être un peu trop compliqué? Mais j'ai peur que si je n'utilise que le tableau de valeurs pour répondre à cette question ce ne soit pas assez suffisant pour mon professeur, quoique l'énoncé dit "On justifiera en décrivant la méthode utilisé.", cela veut dire que je peux utiliser la méthode que je veux :)

par **paquito** » 19 Mai 2014, 13:08

Oui, c'est ce qui faut faire; sinon tu programmes; exemple sur TI:

rompt N
:0->A
:For (K,1,N)

8/9)A+1/9->A
:End

isp A

c'est un programme basique qui te donne

; après tu fais des essais jusqu'à trouver n.
Je trouve n=40; tu peu bien sûr utiliser un tableur.

par **Casey** » 19 Mai 2014, 13:13

Merci beaucoup pour votre aide.
J'ai fait un tableur, et je trouve Un=0.99 avec n=40 également mais je trouve Un=0.9999 avec n=95 mais c'est bien à partir de 40 étapes qu'on aura colorié 99% du carré initial.

par **paquito** » 19 Mai 2014, 13:24

Je ne sais pas comment tu as trouvé,mais effectivement

est géométrique de raison q=8/9; si tu sais faire les calculs tu trouveras

et tu retrouveras n=40.

par **chan79** » 19 Mai 2014, 13:27

Casey a écrit:Ah oui oui exact, je vais voir ça!
Mais je viens de reflechir à une solution, est ce qu'il est possible de transformer cette suite arithmétique en une suite géométrique? Je m'explique, on créer une autre suite que l'on va appeller b(n) par exemple, et qui fait que b(n)= a(n)-1 ?
C'est peut être un peu trop compliqué? Mais j'ai peur que si je n'utilise que le tableau de valeurs pour répondre à cette question ce ne soit pas assez suffisant pour mon professeur, quoique l'énoncé dit "On justifiera en décrivant la méthode utilisé.", cela veut dire que je peux utiliser la méthode que je veux

Salut
Une méthode habituelle consiste à chercher un nombre k tel que la suite

soit géométrique. On écrit

qui doit être constant.
On trouve k=-1 et

il faut résoudre

On utilise le logarithme

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