Intégrale BAC+1

[Mic128]

Salut à tous ! Voilà, je suis étudiant et j'ai un exercice : calculer l'intégrale de f(x)=1/(sin(x)+sin(2x)). J'ai essayé de faire une IPP en changeant par f(x)=(1/sin(x)).(1/(2cosx+1)) avec u'(x)=1/sin et v(x)=1/(2cos(x)+1) mais ça a pas l'air de marcher...

[adrien69]

Salut,

Règle de Bioche ?

:D

[Mic128]

On essaye, merci :D

[Mic128]

J'ai trouvé pour changement de variable t=cos(x) et dt=-sin(x)dx. Donc on cherche : 1/(sin(x)+2sin(x).t) . dx ?

[adrien69]

Non on ne cherche pas ça, tu as oublié de remplacer dx par dt...

Donc :

dx/(sin x + sin 2x) = ?

[Mic128]

dt/((-sin(x))(sin(x)+sin(2x)) ?

[adrien69]

Ça te dirait pas de tout écrire très calmement ? En utilisant sin(2x)=2sin(x)cos(x) ?

[Mic128]

J'ai essayé de tout reprendre, et du coup je trouve : dt/(-sin(x)^2(2t)). Il faut que je trouve une forme dt/t ?

[chan79]

J'ai essayé de tout reprendre, et du coup je trouve : dt/(-sin(x)^2(2t)). Il faut que je trouve une forme dt/t ?

on y arrive avec un peu de calcul en écrivant



pour le troisième quotient t=tan(x/2)

[Mic128]

Et comment est ce que tu as trouvé ça ? :/

[chan79]

Et comment est ce que tu as trouvé ça ? :/

sin(x)+sin(2x)=sin(x)+2sin(x)*cos(x)=sin(x)*(1+ 2*cos(x))
d'où l'idée de décomposer en somme avec les dénominateurs sin(x) et (1+cos(x))
ensuite, on cherche pour retomber sur ses pattes ... :zen:

j'aboutis à ça

F(x)=0.5*ln(sin(x)) - 0.5*ln(1+2cos(x)) - (ln(3-tan²(x/ 2)) + ln(tan(x/2)))/6+cste

il y a probablement plus simple

[adrien69]

Ouep, plus simple, quoique d'une longueur équivalente :

t=cos(x)
dt=-sin(x)dx

dx/(sin(x)+2sin(x)cos(x))=-dt/(sin²(x)(1+2cos(x)))=-dt/((1-cos²(x))(1+2cos(x)))
=-dt/(1-t²)(1+2t)=-dt* (a/(1-t) +b/(1+t) + c/(1+2t))

Où a,b,c sont des constantes qu'on retrouve par le théorème de la décomposition en éléments simples.

[chan79]

en posant t=tan(x/2), c'est assez facile

On arrive à: