Exercice sur les suites

[sofia93]

Bonjour j'ai un exercice de maths à faire mais je rencontre quelques difficultés:

La suite (un) est définie pour tout entier naturel n, par un = 2^n - 40n - 20.
1)a/ Démontrez que la suite est croissante à partir du rang 6.
b/ Déduisez en que pour tout entier naturel n, si n ;) 9, alors un > 0.
2)On note (vn) la suite définie par vn = 2^n - 20n².
a/ Démontrez que vn+1 - vn = un .
b/ Déduisez-en le sens de variation de (vn).
c/ à partir de quel rang a-t-on vn ;) 0 ?

Ce que j'ai fait :
1)a/ je sais que l'on doit trouver un+1 - un = 2^n - 40 mais lorsque je fais le calcul je ne trouve pas ce résultat.
J'ai ensuite fait cela :
un+1 - un = 2^n - 40
u0 = -39
u1 = -38
u2 = -34
u3 = -32
u4 = -24
u5 = -8
u6 = 24
On observe que u6 > 0, alors la suite est positive a partir du rang 6 et donc croissante.
b/ j'ai fait le même genre de calcul :
un = 2^n - 40n - 20
u0 = - 19
u1 = -58
u2 = -96
u3 = -132
u4 = -164
u5 = -188
u6 = -196
u7 = -172
u8 = -84
u9 = 132
On observe que u9 > 0, alors pour tout entier n, si n ;) 9, un > 0.
2)
a/ je ne trouve pas un
b/ je pense trouver en calculant les racines mais je ne suis pas sure.
c/ même type de calcul que pr la premiere question je suppose :
vn = 2^n - 20n
v0 = 1
v1 = -18
v2 = -36
v3 = -52
v4 = -64
v5 = -68
v6 = -56
v7 = -12
v8 = -96
On observe que vn ;) 0 a partir du rang 8 (mais je ne sais pas pourquoi v0 = 1).

Merci d'avance pour votre aide !

[Thomas Joseph]

Bonjour j'ai un exercice de maths à faire mais je rencontre quelques difficultés:

La suite (un) est définie pour tout entier naturel n, par un = 2^n - 40n - 20.
1)a/ Démontrez que la suite est croissante à partir du rang 6.
b/ Déduisez en que pour tout entier naturel n, si n 9, alors un > 0.
2)On note (vn) la suite définie par vn = 2^n - 20n².
a/ Démontrez que vn+1 - vn = un .
b/ Déduisez-en le sens de variation de (vn).
c/ à partir de quel rang a-t-on vn 0 ?

Ce que j'ai fait :
1)a/ je sais que l'on doit trouver un+1 - un = 2^n - 40 mais lorsque je fais le calcul je ne trouve pas ce résultat.
J'ai ensuite fait cela :
un+1 - un = 2^n - 40
u0 = -39
u1 = -38
u2 = -34
u3 = -32
u4 = -24
u5 = -8
u6 = 24
On observe que u6 > 0, alors la suite est positive a partir du rang 6 et donc croissante.

ATTENTION : la question "à partir" du rang 6 ne peut pas se traiter en observant uniquement le rang 6. Il faut prouver que c'est vrai pour "tous" les n supérieurs ou égaux à 6.

Pour cela tu dois résoudre l'inéquation
2^n-40>0
qui équivaut à
2^n>40
qui équivaut à
n>ln(40)/ln(2)
Le membre de droite étant compris entre 5 et 6, tu as la conclusion recherchée.

[sofia93]

Merci pour votre réponse.
Je vois ce que vous voulez dire mis je ne comprend pas la dernière équivalence.
Comment fat-on pour isoler le n sachant que c'est une puissance ?

[Thomas Joseph]

J'ai utilisé les fonctions exponentielle. et logarithme.

Si tu n'as pas vu ces deux fonctions, tu peux considérer cette dernière étape autrement :

la fonction qui à n associe 2^n est croissante en fonction de n (il faudrait le prouver, mais c'est très simple), elle est supérieure à 40 pour n=6 (tu l'as déjà vérifié), donc elle sera supérieure à 40 au delà de 6.

[sofia93]

Effectivement je n'ai pas encore vu ces deux fonctions.
je ne comprend pas très bien cette méthode.

[Thomas Joseph]

Autre formulation de la réponse :
tu as trouvé que 2^6 est supérieur à 40
Si n est supérieur à 6 alors 2^n=2^6*2^(n-6)>2^6>40
On a donc prouvé que 2^n est supérieur à 40 pour tout n supérieur à 6
Donc (Un+1)-(Un) est bien croissante à partir du rang 6

C'est mieux comme cela ?

[sofia93]

Je comprend mieux merci !

[Thomas Joseph]

On observe que u9 > 0, alors comme Un est croissante à partir du rang 6 pour tout entier n, si n

En rouge ci-dessus, un complément important (il s'agit là aussi de prouver que c'est vrai pour tout n, et pas seulement pour n=9).

Ensuite


(en utilisant une identité remarquable)