Complexe et polynome

[neyrick]

Bonjour,

J'ai deux problèmes sur lesquelles je galère grave.

Sur un annal de concours, niveau bac S, voir peut être un peu plus.

On me demande de résoudre:

(-2z-i)/(z-2i) = z

sur un autre exo:

P(x)=ax^2+bx+c

déterminer a,b et c pour que P(x+1) - P(x) = x


Je serai reconnaissant à qui pourra m'éclairer.
Merci par avance

[annick]

Bonjour,
pour le premier, développe, met tout du même côté, factorise et tu as un produit de facteurs égal à zéro comme tu as déjà dû en traiter plein.

Pour le deuxième, tu suis exactement ce que l'on te demande d'exprimer, c'est-à-dire que pour calculer P(x+1), tu remplaces x par x+1 dans ton expression de P.
Puis tu écris remplaces P(x+1) et P(x) par leurs expression en x et tu calcules tout ça, en séparant les termes en x et les termes sans x, ce qui te permettra de trouver la valeur de x.

[neyrick]

J'arrive à : z^2-2zi+i+2z=0
Et là je vois pas du tout comment factoriser!

[neyrick]

j'arrive à x= (-a-b)/(2a-1)
Ce qui ne m'avance en rien

[Carpate]

J'arrive à : z^2-2zi+i+2z=0
Et là je vois pas du tout comment factoriser!

Ca fait
Le discriminant est
Les 2 racines de i sont et soit

...

[Carpate]

Ca fait
Le discriminant est
Les 2 racines de i sont et soit

...

Petite erreur de ma part : et non !

[neyrick]

Merci, malheureusement c'est au dessus de mon niveau tout ça......

[Tiruxa]

Merci, malheureusement c'est au dessus de mon niveau tout ça......

Autre possibilité, poser z=x+iy avec x et y réels puis égaler les parties réelles et imaginaires

On a :
z²-2iz+i+2z=0

donc
(x+iy)²-2i(x+iy)+i+2(x+iy)=0
On développe
x²-y²+2ixy-2ix+2y+i+2x+2iy=0
On écrit sous forme algébrique
x²-y²+2x+2y+i(2xy-2x+2y+1)=0
On identifie


La première équation se factorise facilement
On a :
(x-y)(x+y)+2(x+y)=0
ou
(x+y)(x-y+2)=0
donc
y=-x ou y=x+2
On reporte dans la 2ème équation
-2x²-4x+1=0 ou 2x²+4x+5=0
le deuxième cas a un delta strictement négatif, donc pas de solution réelle,donc seul le premier cas convient

-2x²-4x+1=0 , delta = 16-4(-2)=24
deux solutions
x1=
et
x2=

Comme y=-x on en déduit les deux valeurs de z :





La solutions donnée par Carpate conduit aux mêmes solutions (mais elle n'est plus au programme de TS)

[neyrick]

Parfait merci!
Sinon une idée pour mon polynôme?

[kelthuzad]

Salut,

Une première chose, le "c" s'annule dans l'équation du polynôme donc on sait déjà qu'il y a une infinité de solution car c peut prendre n'importe quelle valeur dans IR. Reste à définir a et b.

[Tiruxa]

Parfait merci!
Sinon une idée pour mon polynôme?

D'après ton message tu as du trouver

2ax + a + b = x

Cette égalité est vraie pour tout réel x, donc les coefficients des deux polynômes sont égaux :

2a = 1
a+b = 0

D'où a et b...

[neyrick]

Vu comme ça c'est plus simple, merci beaucoup.