Variable aléatoire intégrable

[jujudu597]

Bonjour,

Dans mon cours, j'ai ces deux définitions:

La va X est dite P-intégrable si est finie.

Soit un espace probabilisé et X une variable aléatoire définie sur et à valeurs dans ou . Si X est P-intégrable, on définit son espérance mathématiques sous P par


Pourquoi a t-on besoin que X soit intégrable pour que E(X) existe?
A ton X est intégrable E(X) existe?
E(X) existe toujours dans R bar +??

[Thomas Joseph]

Pour avoir le droit d'écrire l'intégrale d'une fonction, il faut bien que la fonction soit intégrable, non ? :)

[jujudu597]

Pour avoir le droit d'écrire l'intégrale d'une fonction, il faut bien que la fonction soit intégrable, non ?

Oui mais pour moi X est intégrable est finie

[Ben314]

1) Pourquoi a t-on besoin que X soit intégrable pour que E(X) existe?
2) A ton X est intégrable E(X) existe?
3) E(X) existe toujours dans R bar +??

Salut,
1) C'est dans la définition de la mesure de Lebesgue : on définit d'abord l'intégrabilité pour les fonction positives puis on l'étend aux fonctions quelconques, mais ils faut qu'elles soient de module intégrable.

2) Oui, et ça découle du 1) [à la rigueur, on pourrait dans certains cas particulier prendre la mesure de Riemann, mais ça rend certains résultats généraux faux]

3) Non : si X n'est pas positive, tu ne peut pas dire que l'intégrale vaut "+oo" lorsqu'elle n'existe pas : tu tomberais trés rapidement sur des absurdités.
Par contre, si X>=0, on peut prendre cette convention qui est celle du cadre général de la mesure de Lebesgue.

[Thomas Joseph]

Merci pour la question,
et la réponse de Ben ... j'ai ainsi réactivé mes souvenirs ce qui vient de m'éviter une grossière erreur dans le travail que je suis en train d'effectuer.

[egan]

Je crois qu'on peut faire un peu mieux que ça en réalité.

Donnons-nous une mesure positive mu et une fonction f mu-mesurable.
On commence déjà par définir l'intégrale des fonctions simples.
Ensuite, par limite, on définit l'intégrale des fonctions positives.
A ce stade là, on autorise les fonctions positives à avoir une intégrale infinie. On dit juste qu'elles sont intégrables si leur intégrale est finie.

Reste ensuite à définir l'intégrale des fonctions de signes quelconque. Pour cela on écrit le truc classique:
f = f+ - f-

f+ et f- étant positives, elles ont bien une intégrale.
Voilà ce qu'on a envie de dire:

int(f) = int(f+) - int(f-)

Problème: si int(f+) et int(f-) sont toutes les deux infinies, ce truc là n'a aucun sens.

On pose alors la définition: f est L^1 si et seulement si int(f+) et int(f-) sont finies, ce qui est équivalent à dire que |f| est intégrable.

Bien sûr, le bon concept dans la plupart des cas, c'est la notion de fonction L^1.
Par contre, on peut faire un peu mieux. Si soit int(f+), soit int(f-), est finie, on peut définir int(f) par la formule donnée ci-dessus.
Typiquement on pourrait avoir int(f+)=+oo et int(f-)=1 et alors int(f)=+oo. Mais par contre, dans ce cas, f n'est pas L^1.

[Thomas Joseph]

Merci beaucoup, tu expliques très bien l'intérêt de considérer |f|, ce qui me questionnait encore.

Bonne soirée.