Groupe (Z/nZ)*

[melvin33]

bonjour, on vient de me demander de construire les groupes z/nz additif et multiplicatif, je n'ai pas de problème à cela mais on me demande de démontrer des propriétés, que je dois trouver moi même, j'en ai trouver un certain nombre sur le groupe muni de l'addition mais aucune sur celui muni de la multiplication... Je suis en L2 si vous avez des idées de propriétés à démontrer de ce niveau je les démontrerais avec grand plaisir .
merci d'avance

[zygomatique]

salut

c'est un peu vague ...

et qu'as-tu trouvé ?

que se passe-t-il si n est premier ? n'est pas premier ?

[melvin33]

salut

c'est un peu vague ...

et qu'as-tu trouvé ?

que se passe-t-il si n est premier ? n'est pas premier ?

voila le probleme c'est que le sujet d'oral est donné comme ca : construction (z/nz,+) et ((z/nz)*,x)
et propriétés.
p premier, cyclique donc isomorphe a z/(p-1)z
et apres le seul autre truc que j'ai c'est que (z/zn)* est abelien

[jlb]

Salut tu as aussi cyclique si p=2,4,k^a et 2k^a où k premier et a entier, mais bon certain point demande du boulot

[melvin33]

j'ai une autre question voila :
je veux démontrer que l'ordre de cl(x) dans (z/nz,+) est égale à n/pgcd(n,x). avec x different de 0
je prend cas ou pgcd(x,n)=1
je dis cl(x)=cl(x)+cl(x)...+cl(x) =cl((n-1)x)
ca on le fait jusqu'à cl(xn)=cl(0) ordre n.
si pgcd(x,n)=m on fait la meme chose avec m du coup
cl(xm)=xm modn
qui est equivalent a xm=qn <=> xm=qma a appartient a N
donc xmoda avec a et x premier avec a donc d'ordre a.
je peux donc conclure ? ou ma demonstration n'est pas bonne ?

[adrien69]

Je ne sais pas trop personnellement. Je ne comprends pas grand chose au mélange de tes notations et de ta syntaxe.
Reprenons point par point.
Tu cherches à montrer que l'ordre additif d'un élément x dans Z/nZ est donné par n/PGCD(x,n). OK.
Bon appelons le m ce PGCD, pas de soucis.
x=mb, n=ma.

Donc on regarde x*a, et la question est de savoir si ça vaut 0 et qu'en plus x*c doit être non nul pour tout 0
Comment qu'on fait ça ?

Eh bien x*a=m*b*a=b*n=0, donc on a la première partie.

Et maintenant, si x*c=0, cAlors x*c=n*d (attention ici j'utilise les représentants des classes sur lesquelles je travaillais) pour un certain d entier naturel.
C'est-à-dire, m*b*c=m*a*d, donc b divisé ad, mais b et a sont premiers entre eux, donc le théorème de gauss assure que b divise d, i.e. il existe f entier tel que bf=d,
Ce qui donne alors c=a*f, or c
Et donc on peut conclure.
Si c'est ce que tu avais voulu dire passe outre, mais ça me semble sensiblement plus long que ton truc, donc tu as dû manquer un passage.

[Ben314]

Salut,
Souvent (mais pas toujours), pour montrer qu'un élément x donné est d'ordre d, au lieu de montrer le truc en deux temps, c'est à dire que d.x=0 et que c.x est non nul pour 0quelque soit l'entier m, m.x=0 <=> d|n

Par exemple, ici, en notant d=pgcd(n,x)
m.x=0 modulo n <=> n divise m.x <=> (n/d) divise m.(x/d) <=> (n/d) divise m [car n/d et x/d sont premiers entre eux]
donc l'ordre de x est n/d