Démonstration du théorème de factorisation des polynomes

[scotchizmen]

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide pour la compréhension de la démonstration du théorème de factorisation des polynômes, grâce aux racines.

Le théorème:
Soit f un polynôme et a un réel. On a l'équivalence:
f(a) = 0 (il existe un polynôme g tel que : f(x) = (x - a)g(x) )

La démonstration:
Le sens f(x + a)

On a F(0) = 0 donc F se factorise par x, d'après le cas particulier déjà, traité.

et etc. pour la suite de la démonstration.


Ce que je ne comprends pas, c'est la phrase en rouge. Comme on a F(0) = 0, le terme constant est nul. Ca, je comprends. Mais dans ce cas, pourquoi F serait factorisable par x? C'est plutot par (x + a), non? Comment on peut dire que F est factorisable par x?


Merci d'avance de m'éclairer sur cette question!

[Robic]

Bonjour ! F est n'est pas le polynôme f :

f : x --> f(x),
F : x --> f(x+a).

Donc F(0) = f(a) = 0 : F admet 0 comme racine. Or on a vu au début que tout polynôme qui admet 0 comme racine est factorisable par x. Donc F est factorisable par x.

(Ensuite, j'imagine qu'on écrit F(x) = x G(x) puis on pose g(x) = G(x-a) et alors
f(x) = F(x-a) = (x-a) G(x-a) = (x-a) g(x).)

[scotchizmen]

Merci bcp pour cette réponse, mais ce que je ne ne comprends pas, c'est que par exemple, f(x) = x² + 2x
ALors, F(x) = (x + a)² +2(x + a)
Dans ce cas, F n'est pas factorisable par x ?

Merci d'avance

[Ben314]

Rappel : dans ton théorème, pour qu'on puisse factoriser X dans le polynôme F, il faut que a soit une racine de f (ne pas confondre les F et les f...)

Par exemple, là tu est parti de f(x)=x²+2x dont une des racines est a=-2.
Ca donne quoi ton truc lorsque a=-2 ?

[Robic]

Merci bcp pour cette réponse, mais ce que je ne ne comprends pas, c'est que par exemple, f(x) = x² + 2x
ALors, F(x) = (x + a)² +2(x + a)
Dans ce cas, F n'est pas factorisable par x ?

Mais si !

f a deux racines : 0 et -2.
- Si tu choisis a=0, alors F=f, donc F est bien factorisable par 0.
- Si tu choisis a=-2 ça marche aussi : F(x) = f(x-2) = (x-2)² + 2(x-2) = x² -4x + 4 + 2x -4 = x² - 2x. C'est factorisable par x.

Mais pourquoi tu choisis f ayant une racine nulle ? Dans la deuxième partie (d'où provient la phrase en rouge), on suppose que a est une racine quelconque, a priori non nulle.

Pour comprendre comment ça marche, tu dois choisir un f qui a ses racines non nulles, par exemple f(x) = x² - 3x + 2, qui admet a = 2 comme racine.

On pose alors F(x) = f(x+a) = (x+2)² - 3(x+2) + 2 = x² +4x + 4 -3x - 6 + 2 = x² +x.

F admet 0 pour racine, donc F est factorisable par x : F(x) = x(x+1). Du coup on pose G(x) = x+1 et alors F(x) = x G(x).

Ensuite on aura :
f(x) = F(x-2) = (x-2)G(x-2) = (x-2) [(x-2) + 1] = (x-2)(x-1). Ça marche !

[scotchizmen]

F(x) = (x-2)² +2(x-2) = x² -4x + 4 + 2x - 4 = x(x +2)

Mais comment on peut savoir que ca marchera pour tout polynome?
Désolé si je suis un peu dur de la comprenette...

[Robic]

Comment on saura que quoi marchera pour tout polynôme ?

Que F sera toujours factorisable par 0 ?

Ça vient de :
(1) Tout polynôme admettant 0 pour racine est factorisable par 0 (est-ce que tu as compris ça ?)
(2) Si on pose F : x --> f(x+a) où a est une racine de f, alors F(0) = f(0+a) = f(a) = 0 (est-ce que tu as compris ça ?)

[scotchizmen]

Ah ok, j'ai compris!
En fait, comme F(0) = 0, pas de terme constant, donc pas de + quelquechosefoisa donc F factorisable par x!

Merci beaucoup à vous deux!

[Robic]

J'aurais plutôt dit : comme F(0) = 0, d'après la propriété vue plus haut F factorisable par x !

Ce que tu as dit est juste, mais tu refais le raisonnement qui a été vu plus haut, c'est une perte de temps.

[paquito]

Il n'y a pas si longtemps, on voyait la division Euclidienne d'un polynôme par x-a. On avait comme résultat: P(x)= Q(x)(x-a)+P(a), P(a) constante réelle. La division étant très facile à faire.

Si P(a) = 0, on avait alors P(x)=Q(x)(x-a) .

On peut aussi considérer P(x)-P(a) et utiliser x^n-a^n=(x-a)(x^(n-1)+ax^(n-2)+a²x^(n-3)+...a^(n-1)), ce qui permet de factoriser P(x)-P(a) par (x-a) et de conclure si P(a)=0; cela revient a la division euclidienne mais on ne l'utilise pas. La réciproque étant bien sûr évidente.

Il y a aussi la méthode de Horner qui est justifiée par un système d'équation où l'on identifie les coefficients de 2 polynômes. Pas facile à expliquer, mais très efficace; Demande à ton prof.