DM Le nombre d'or

[amatheurs]

Voici l’énoncé :
On considère la suite Un définie par U1=U2=1 pour tout n appartient au entiers naturels ,
Un+2=Un+1 +Un

Question
1)calculer les 4 premiers termes de la suite
2)Soit le nombre d'or (phi) solution de l’équation X² - X -1 =0
A)Déterminer la valeur exacte du nombre d'or (phi)
B) Vérifier que pour tous n supérieur ou égal à 2 : (phi)^n = Un(phi) + Un-1
on pourra utiliser un raisonnement par récurrence
C)A l'aide d'un tableur , déterminer la limite de la suite Vn définie pour tout n appartient au entiers naturels par Vn=(Un+1)/(Un)

J'ai répondu a la question 1) et 2)a
Ensuite je suis complétement bloqué ...

[siger]

Bonour,

Je n'ai pas compris la notation
(phi)^n = Un(phi) + Un-1
.....
que veut dire Un(phi)?

[amatheurs]

Bonjour,
pour (phi)^n = Un(phi) + Un-1
je n'arrive pas a introduire les exposants et les indices
je peut te l'écrire comme cela : phi (exposant n) = (((U (indice n ) multiplie par phi))) + (((U (indice -n)
)))

[paquito]

On a (phi)²=phi+1.Donc, pour n=2, c'est vérifié.

Supposons que pour un entier n>=2, (phi)^n=Un(phi)+U(n-1); on obtient Un(phi)²+U(n-1)(phi)=Un(phi+1)+U(n-1)(phi)=(Un+Un-1)(phi)+Un=Un+1(phi)+Un= (phi)^(n+1), donc par récurrence sur n>=2 (phi)^n=Un(phi)+Un-1. Ca marche.

[amatheurs]

merci pour n=2 j'ai maintenant compris
mais je ne comprend pas comment vous passez d'une etape à une autre pour le reste ... pourriez-vous m'expliquer s'il vous plait ?

[paquito]

merci pour n=2 j'ai maintenant compris
mais je ne comprend pas comment vous passez d'une etape à une autre pour le reste ... pourriez-vous m'expliquer s'il vous plait ?

Je multiplie les 2 membres par phi et j'utilise (phi)²=phi+1

[amatheurs]

ensuite vous factorisez par phi si je comprend bien , et ensuite ? c'est à partir de la que je ne comprend plus ...
Un + Un-1 = Un+1 ?

[paquito]

L'hypothèse de récurrence est (phi)^n=Un(phi)+Un-1.

Je multiplie les deux membres par phi; (Rmq: phi=(1+V5)/2) on obtient:

(phi)^(n+1)=Un(phi)²+U(n-1)(phi)=Un(phi+1)+U(n-1)phi=(Un+U(n-1))phi+Un=U(n+1)phi+Un car
Un+U(n-1)=U(n+1); donc c'est vrai au rang n+1.

[amatheurs]

merci mais comment sais tu que Un + Un-1= Un+1 ?

[paquito]

merci mais comment sais tu que Un + Un-1= Un+1 ?

La suite vérifie U(n+2)=U(n+1)+ Un pour n>=1, donc pour n>=2, on a aussi U(n+1)=Un+U(n-1); c'est la même relation avec n-1 à la place de n!