Loi de Gauss - Seconde

[Albstein99]

Bonjour,
J'espère que vous pourrez m'aider. J'ai appris l'existence de la loi de Gauss, gràce à laquelle on peut effectuer la somme des entiers de 1 à n :
(n²+1)/2
Je cherche une formule qui me permettrait cette fois de calculer le FACTEUR de tous les entiers de 1 à n. Existe-t-elle ? J'ai entendu parler de "loi factorielle", mais je n'ainpas trouvé.
Ceci dans un but personnel, et extra-scolaire.
Merci d'avance,

amicalement vôtre,
Albstein99

[Robic]

Bonjour !

La somme des entiers de 1 à n, c'est =n(n+1)/2, pas (n²+1)/2. Elle est enseignée en 1ère. Je ne crois pas que ça s'appelle « loi de Gauss », mais il y a effectivement une anecdote : Gauss, lorsqu'il était à l'école primaire, avait réussi à démontrer cette formule tout seul à l'étonnement de son prof.

Pour le produit des entiers de 1 à n, il n'existe pas de formule, c'est juste 1x2x3x...xn. On le note n! qui se lit « factoriel n ». Il existe une approximation de n!, la formule de Stirling, qui est assez compliquée (voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Stirling) et n'est pas au programme du lycée.

[Albstein99]

Bonjour !

La somme des entiers de 1 à n, c'est =n(n+1)/2, pas (n²+1)/2. Elle est enseignée en 1ère. Je ne crois pas que ça s'appelle « loi de Gauss », mais il y a effectivement une anecdote : Gauss, lorsqu'il était à l'école primaire, avait réussi à démontrer cette formule tout seul à l'étonnement de son prof.

Pour le produit des entiers de 1 à n, il n'existe pas de formule, c'est juste 1x2x3x...xn. On le note n! qui se lit « factoriel n ». Il existe une approximation de n!, la formule de Stirling, qui est assez compliquée (voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Stirling) et n'est pas au programme du lycée.

Merci, en factorisant, j'ai fait une petite erreur : (n²+n)/2
Est-ce que la formule de Stirling permet de calculer n! sans faire la calcul n fois ? Il n'y en a pas de plus simple ?
Merci beaucoup pour ta réponse ! :we:

[Robic]

Effectivement, le problème avec n! est qu'il faut faire n multiplications, tandis que la formule de Stirling semble ne nécessiter que 5 ou 6 opérations. Cela dit, le de n^n nécessite a priori lui aussi n multiplications (pour nous, on tape juste sur la touche puissance, mais la calculatrice, elle, doit se coltiner toutes les multiplications...)

Il n'y a pas plus simple que la formule de Stirling, comme tu peux le constater en lisant l'article de Wikipédia. Attention que cette formule est une approximation (plus n est grand, plus l'approximation est bonne, et vice versa), donc ne fournit pas la valeur exacte.

C'est si embêtant que ça d'avoir à faire plein de multiplications ?

(PS : c'est en développant que tu as fait une erreur.)

[Albstein99]

En fait, j'utilise n=1000, doncnje pensais faire un programme informatique, pour des calculs de probabilité.
Merci beaucoup !

[Robic]

1000! va dépasser les capacités de la calculatrice ou de l'ordinateur ! (*)

Dans les calculs de probabilités, on a parfois des n! et des p!, mais il ne faut surtout pas les calculer : il y a toujours des simplifications à faire. Par exemple pour calculer (1000!)/(995!) on ne calcule pas 1000!, puis 995!, puis la division, car 1000! et 995! dépassent les capacités des machines. Ce qu'on fait, c'est qu'on écrit (1000!)/(995!) = 1000x999x998x997x996.

(*) Pour info, 1000! est un nombre à 2568 chiffres...

[busard_des_roseaux]

sinon la fonction log te permet de faire des additions et soustractions parallèlement aux produits et quotients.