Vitesse de sortie d'air

par **Nodal** » 25 Déc 2014, 20:46

Bonjour à tous,
Je dois estimer la vitesse de sortie d'un flux d'air dans les conditions suivantes.
J'ai un volume d'air de 10 litres sous une pression de 6 bars.
l'air sort par une buse de 3mm de diamètre mesurant 10mm de long.
On considère que la pression reste constante en moyenne car le volume est maintenu à la pression nominale en permanence via compresseur.
la température de fonctionnement est entre 15 et 20°.
Je cherche la formule magique qui me permettrait de calculer la vitesse de sortie du flux.
J'ai déjà obtenu quelques informations mais aucune ne me permet de mener à bien le calcul.
Une formule tenant compte de la viscosité me permettrait d'adapter à d'autres fluides,
mais aussi tenant compte des paramètres de pression initiale du volume et de la taille de la buse serait idéale.

Bien cordialement.

par **Sake** » 25 Déc 2014, 21:13

Nodal a écrit:Bonjour à tous,
Je dois estimer la vitesse de sortie d'un flux d'air dans les conditions suivantes.
J'ai un volume d'air de 10 litres sous une pression de 6 bars.
l'air sort par une buse de 3mm de diamètre mesurant 10mm de long.
On considère que la pression reste constante en moyenne car le volume est maintenu à la pression nominale en permanence via compresseur.
la température de fonctionnement est entre 15 et 20°.
Je cherche la formule magique qui me permettrait de calculer la vitesse de sortie du flux.
J'ai déjà obtenu quelques informations mais aucune ne me permet de mener à bien le calcul.
Une formule tenant compte de la viscosité me permettrait d'adapter à d'autres fluides,
mais aussi tenant compte des paramètres de pression initiale du volume et de la taille de la buse serait idéale.

Bien cordialement.

Salut,

Sauf erreur, je trouve par analyse dimensionnelle que la vitesse de sortie est selon

et qu'elle dépend du nombre

(ça c'est moins sûr)...

Par contre, de manière plus évidente, tu peux utiliser le théorème de Bernouilli sur une ligne de courant en considérant que la buse est très courte (on néglige le différentiel de hauteur) et que le réservoir de volume est de taille importante. Tu obtiendras la même dépendance, à un facteur près.

PS : J'oubliais de préciser que D est le diamètre de la buse, mu la viscosité dynamique du fluide, rho sa masse volumique et P la pression imposée par le pressostat.
Pour l'analyse dimensionnelle, il est intuitif de penser que la longueur de la buse ne sera pas un facteur pertinent (sauf si l'on considère des problèmes de turbulence). Le volume non plus n'a pas d'influence car en général, c'est une différence de pression qui sera la cause d'un écoulement.

par **Nodal** » 26 Déc 2014, 11:46

Merci Sake,
Je trouve cohérent que la longueur de la buse ne soit à prendre, compte.

Cordialement

par **Mathusalem** » 26 Déc 2014, 14:29

Salut,

Sake a écrit:
Sauf erreur, je trouve par analyse dimensionnelle que la vitesse de sortie est selon et qu'elle dépend du nombre (ça c'est moins sûr)...

Je comprends pas cette phrase. Ni la phrase plus tard où tu juges que la longueur de buse n'a pas d'importance.

http://en.wikipedia.org/wiki/Hagen%E2%80%93Poiseuille_equation

Il me semble que tu peux inverser la formule pour obtenir le débit, et la vitesse sera simplement le débit divisé par la section du tube.

par **Sake** » 26 Déc 2014, 15:23

Mathusalem a écrit:Salut,

Je comprends pas cette phrase. Ni la phrase plus tard où tu juges que la longueur de buse n'a pas d'importance.

http://en.wikipedia.org/wiki/Hagen%E2%80%93Poiseuille_equation

Il me semble que tu peux inverser la formule pour obtenir le débit, et la vitesse sera simplement le débit divisé par la section du tube.

J'ai juste trouvé la formule par analyse dimensionnelle.

Par ailleurs, tu fais bien de me dire que quelque chose semble clocher, parce qu'une différence de pression pourrait être la cause de l'écoulement, et pas une pression donnée. Il faudrait donc prendre un

au lieu de P...

D'après Wiki, la vitesse vaudrait donc

au lieu de

, sans doute parce qu'on considère deux régimes d'écoulement différents. Je reviens vers toi après un calcul en régime laminaire et on compare.

par **Sake** » 26 Déc 2014, 15:30

L'analyse dimensionnelle n'est pas suffisante : J'obtiens (en régime laminaire, cette fois-ci, pour un écoulement de type Poiseuille) que la vitesse est en

mais je n'obtiens pas l'information supplémentaire qui existe dans la formule

(c'est-à-dire le

au lieu d'un D...)

PS : Sachant que D et L sont ici du même ordre de grandeur, on s'attend tout de même à une différence d'un facteur 3 environ...

PS2 : Je ne travaille pas avec le débit, Mathusalem, il s'agit d'une donnée expérimentale.

par **Mathusalem** » 26 Déc 2014, 16:16

J'ai pas réfléchi énormément au problème, mais il me semble pas que tu puisses t'en sortir seulement par analyse dimensionnelle. Bon de base tu pars de l'équation de navier stokes pour la démo, mais sinon, j'ai l'impression que l'analyse dimensionnelle ici te donne plus d'inconnues que d'équations sur les puissances des différentes grandeurs.

par **Sake** » 26 Déc 2014, 21:07

Mathusalem a écrit:J'ai pas réfléchi énormément au problème, mais il me semble pas que tu puisses t'en sortir seulement par analyse dimensionnelle. Bon de base tu pars de l'équation de navier stokes pour la démo, mais sinon, j'ai l'impression que l'analyse dimensionnelle ici te donne plus d'inconnues que d'équations sur les puissances des différentes grandeurs.

J'ai effectué quelques simplifications pour les paramètres : J'avais listé le volume et la longueur de la buse que j'ai fini par éliminer.
Cela ne me donne plus qu'un nombre adimensionnel. J'ai ensuite dû faire un choix et associer les dimensions (M, L, T) aux paramètres restants, au nombre de 4. J'ai associé la masse à rho (pour le côté inertiel que joue cette grandeur dans l'écoulement que j'associais à un régime à Reynolds élevé), la longueur de référence à D le diamètre de la buse, et le temps à la pression (ce choix-ci est arbitraire car je "savais" qu'on allait s'en servir).
De toute façon, comme tu le dis - et si j'ai bien compris ce que tu voulais dire -, le nombre de dimensions du problème ne permettait d'avoir une dépendance que selon 3 paramètres (ici rho, D et P). Puisque L intervient vraisemblablement aussi dans le problème, il était clairement impossible de pouvoir le prédire par AD...

par **Black Jack** » 27 Déc 2014, 18:58

En première approximation : v = Racinecarrée(2 * Delta P/Rho) (presque indépendant de la section du trou et de la longueur du tuyau).

Mais le hic est que Rho est variable avec la pression.

On peut considérer le Rho comme étant celui à l'intérieur du réservoir tant que la vitesse ne dépasse pas trop celle du son dans l'air (je ne sais pas pourquoi mais c'est largement répandu comme information).

Ici, on aurait donc : v = Racinecarrée(2 * 5 * 10^5 / (6*1,29)) = 360 m/s

Le débit massique étant : Q = Rho * S * v = 6*1,29 * Pi*(1,5.10^-3)² * 360 = 0,02 kg/s (très approximativement) ... va falloir un compresseur sérieux pour maintenir la pression à 6 bars dans le réservoir.
(Environ 15,5 L/s à pression athmosphérique)

La vitesse coté extérieur du réservoir ne signifie pas grand chose, il y a des des remous importants et l'air file dans presque toutes les directions.

Même si ceci n'a pas l'air très sérieux ... l'ordre de grandeur est bon.
*****
Sur ce lien : http://www.google.be/url?url=http://energie.wallonie.be/servlet/Repository/dai-fichesureindustrie-cuvesettuyauteries.pdf%3FID%3D28938%26saveFile%3Dtrue&rct=j&frm=1&q=&esrc=s&sa=U&ei=JeSeVPW2JJKt7AaAnYGIDw&ved=0CDEQFjAE&usg=AFQjCNFERriqG3ACKQ71bJjMiydEUVpswQ

J'ai trouvé l'info (sans calculs) :

Sous 6,3 bars, trou de 3 mm de diamètre ---> fuite de 10 L/S (à pression atmosphérique).

... A comparer avec l'estimation faite de 15,5 L/s ci-dessus.

:zen:

par **Nodal** » 27 Déc 2014, 20:33

Black Jack a écrit:En première approximation : v = Racinecarrée(2 * Delta P/Rho) (presque indépendant de la section du trou et de la longueur du tuyau).

Je reste perplexe !
C'est vrai que intuitivement j'aurais pensé que la vitesse d'écoulement dépendait de la section de sortie.

par **Sake** » 27 Déc 2014, 21:24

Black Jack a écrit:En première approximation : v = Racinecarrée(2 * Delta P/Rho) (presque indépendant de la section du trou et de la longueur du tuyau).

Mais le hic est que Rho est variable avec la pression.

On peut considérer le Rho comme étant celui à l'intérieur du réservoir tant que la vitesse ne dépasse pas trop celle du son dans l'air (je ne sais pas pourquoi mais c'est largement répandu comme information).

Lorsque V << Mach(1) dans de l'air, on travaille en régime incompressible, ce qui se traduit immédiatement par d(rho)/dt = 0

Comment as-tu obtenu ta première formule ?

par **Sake** » 27 Déc 2014, 21:34

Nodal a écrit:Je reste perplexe !
C'est vrai que intuitivement j'aurais pensé que la vitesse d'écoulement dépendait de la section de sortie.

Cela dépend a priori du type d'écoulement. Si on est en régime turbulent (la viscosité du fluide a peu d'importance face à son inertie), les dimensions du tube auront peu d'importance car on néglige les effets de couche limite sur la structure de la buse, ce qui valide ma première formule corrigée et celle de Black Jack. C'est aussi cela qui motive l'utilisation du théorème de Bernoulli, car on raisonne en fluide de type parfait.
Si on travaille en écoulement laminaire, comme le suggère Mathusalem avec son écoulement type Poiseuille, il faut prendre en compte le cisaillement dû à la viscosité, et le comportement radicalement différent du fluide. On obtient une formule où interviennent à la fois le diamètre de la buse (sa section) et sa longueur.

Si tu as un tube de Pitot et un manomètre, on peut effectuer quelques tests !

par **Mathusalem** » 28 Déc 2014, 09:58

Sake a écrit:Comment as-tu obtenu ta première formule ?

E_cin = E_pot par exemple

E_pot = traval de la force le long du tube = Delta P * Section * Longueur trajet := Delta P * volume

1/2 mv^2 = Delta P * vol
v = sqrt ( 2Delta P * vol/m )

Mais évidemment c'est plus compliqué: effets de friction, accéleration convective si le tube change de forme au cours du trajet, etc.

par **Sake** » 28 Déc 2014, 10:32

Mathusalem a écrit:E_cin = E_pot par exemple

E_pot = traval de la force le long du tube = Delta P * Section * Longueur trajet := Delta P * volume

1/2 mv^2 = Delta P * vol
v = sqrt ( 2Delta P * vol/m )

Mais évidemment c'est plus compliqué: effets de friction, accéleration convective si le tube change de forme au cours du trajet, etc.

C'est peut-être pas adapté au cas méca-flu, mais la démonstration est astucieuse

par **Black Jack** » 28 Déc 2014, 11:43

Ou bien ainsi :

La masse d'air dans le tube de section S et de longueur L est = S * L * Rho

La force qui pousse l'air dans le tube : F = S * (P - Po)

F = ma
S * (P - Po) = S * L * Rho * a
Delta P = L * Rho * a
a = Delta P/(L * Rho)

L = at²/2
L = Delta P/(L * Rho) * t²/2
t² = 2L²*Rho/Delta P

v = a*t
v = Delta P/(L * Rho) * Racine(2L²*Rho/Delta P)

v = Racinecarrée(2.Delta P /Rho )

... v indépendante de S et de L (en négligeant évidemment les pertes de charges dans le tube)

:zen:

par **Sake** » 28 Déc 2014, 15:38

Black Jack a écrit:Ou bien ainsi :

La masse d'air dans le tube de section S et de longueur L est = S * L * Rho

La force qui pousse l'air dans le tube : F = S * (P - Po)

F = ma
S * (P - Po) = S * L * Rho * a
Delta P = L * Rho * a
a = Delta P/(L * Rho)

L = at²/2
L = Delta P/(L * Rho) * t²/2
t² = 2L²*Rho/Delta P

v = a*t
v = Delta P/(L * Rho) * Racine(2L²*Rho/Delta P)

v = Racinecarrée(2.Delta P /Rho )

... v indépendante de S et de L (en négligeant évidemment les pertes de charges dans le tube)

:zen:

Voilà, encore une fois on retombe sur nos pattes : Si on néglige les pertes de charge, c'est-à-dire dans l'hypothèse d'un fluide parfait... Reste à voir avec l'expérience si on se trouve en grand Reynolds ou en petit Reynolds avant d'adopter un modèle plutôt qu'un autre.

par **Black Jack** » 28 Déc 2014, 16:37

Sake a écrit:Voilà, encore une fois on retombe sur nos pattes : Si on néglige les pertes de charge, c'est-à-dire dans l'hypothèse d'un fluide parfait... Reste à voir avec l'expérience si on se trouve en grand Reynolds ou en petit Reynolds avant d'adopter un modèle plutôt qu'un autre.

Le Re c'est comme la poule et l'oeuf ...
v dépend du Re mais il faut une bonne estimation de v pour estimer le Re.

On a quelque chose comme ceci :

Re = V*L/nu

L = 3.10^-3 m
V = 360 m/s
nu = 15,6.10^-6 m²/s

Re = 360 * 3.10^-3/(15,6.10^-6) = 69000 (environ bien-entendu)

L'écoulement est turbulent ... dans le tube.
-----
On peut alors estimer le coefficient de frottement par la corrélation de Blasius (Pour Re de 4000 à 100000)

Lambda = 0,3164 * Re^-0,25 = 0,02 (pour Re = 69000)

:zen:

par **Nodal** » 29 Déc 2014, 09:47

Pour info, je suis tombé sur ce site de calcul qui me semble pertinent.

par **Nodal** » 29 Déc 2014, 10:17

J'ai oublié le lien qui nous intéresse.

par **Black Jack** » 29 Déc 2014, 14:26

Nodal a écrit:J'ai oublié le lien qui nous intéresse.

Je ne vois pas en quoi le lien peut aider dans le problème posé.

D'abord c'est uniquement pour de l'eau.

On doit lui entrer le diamètre de la tuyauterie et le débit ... et il calcule la vitesse par (vitesse = débit/section tuyau), ça c'est facile.

Et en entrant la longueur du tuyau et la "rugosité" de la tuyauterie, il calcule les pertes de charges dans le tuyau.
*****

Ce n'est pas le problème posé ici.

:zen:

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