Systèmes de coordonnées

[Rockleader]

Bonjour à tous,

j'aimerais savoir s'il était possible de faire un rappel rapide et concis de ce que représente les composantes de chaque systèmes de coordonnées, cartésienne, polaire et sphérique.


Tout d'abord, le trièdre du repère cartésien (x,y,z).
Il s'agit ni plus ni moins que des positions d'un ou plusieurs points.

le trière du repère polaire (p,phi,z))
z est le même que dans le cartésien.
p c'est le rayon projeté du point étudié ?
et phi sera l'angle tel que ep,ephi = pi/2 ?


le trièdre du repère sphérique: (r,phi,théta)
r est la distance de l'origine du repère considéré au point étudié.
Ensuite, je ne sais pas ce que vont à nouveau représenté phi et théta.
Je sais que l'on représente e phi à +pi/2 de e_r et e_théta à -pi/2 de e_r; mais je ne sais pas ce que cela représente.


Bref, si quelqun pouvait me faire une petite synthèse de tout ça, mes cours là dessus sont toujours obscurs et je me mélange toujours mes pinceaux.

Merci pour votre aide !

[jlb]

pars du repère cartésien et des ces trois axes (Ox),(Oy), et (Oz)

pour cordonnées cylindriques: tu projettes le point sur le plan défini par (Ox) et(Oy).

p= distance de O au projeté, et l'angle entre l'axe [Ox) et la demi droite [O, le projeté)

z idem


pour coordonnées sphériques: tu projettes le point sur le plan défini par (Ox) et (Oy)

p= distance du point O au point

le premier angle idem que cylindrique

le deuxième angle: angle entre [O leprojeté) et [O lepoint)

[Rockleader]

ok, mais quand on projette le point dans le plan Ox Oy, comment on sait à quel endroit on le projette ?

C'est juste de façon arbitraire lorsqu'on fait le schéma ?


Si j'ai bien compris, admettant M un point


OM = xe_x + ye_y + z_ez

M' le projeté de M dans le repère cylindrique (en fait on le met à z=0)

OM' = p*e_p + phi*e_phi + z*e_z (avec z = 0)


M'' le projetté de M sur l'axe Z (en fait on met x et y à 0)

OM'' = r*e_r + phi*e_phi + théta*e_théta.

Est ce que c'est bien ça ?

p étant la distance OM'
r la distance OM
théta l'angle OM'' à OM
phi l'angle Ox à OM'

[jlb]

NON,

en cylindrique, tu as vect(OM)=r.e_r+z.vect(k) donc en cartésien vect(OM)=r. cos(théta)vect(i) + r.sin(théta)vect(j) +z.vect(k)

(projection du point sur Oyx parallèlement à Oz (z=0) et l'info qui est dans e_r c'est la direction donnée par théta)

en sphérique, tu as vect(OM)=r.e_r donc en cartésien vect(OM)=r.cos(phi)cos(théta)vect(i) + r.cos(phi)sin(théta)vect(j) + r.sin(phi)vect(k)

(projection de re_r sur le plan Oxy parallélement à (Oz) et sur (Oz) parallélement à Oxy et l'info qui est dans e_r c'est la direction donnée par phi et théta)

[Rockleader]

Je pense que je comprends mieux.

Mais dans ton explication que représente vect(i) , vect(j), vect(k)

[jlb]

]

ce sont les vecteurs unitaires dirigeant les axes du repère cartésien!!

[Rockleader]

]

ce sont les vecteurs unitaires dirigeant les axes du repère cartésien!!

Donc vect(k) c'est e_z ?

Et pour les deux autres ? je visualise pas bien la sur le dessin.

[jlb]

oui e_x=vect(i) et e_y=vect(j)

trace un repère cartésien (O,vect(i),vect(j),vect(k)) tu places un point M (vect(OM)=xvect(i)+yvect(j)+zvect(k)) dans ce repère, tu peux aussi déterminer sa position en sphérique sous la forme vect(OM)=r e_r où e_r est un vecteur unitaire dirigeant [OM) e_r est déterminé par sa composante dans le plan (Oxy) et sa composante sur l'axe sur l'axe [Oz),

si tu veux déterminer sa position en cylindrique, vect(OM)=r'e_r' + z.vect(k), (c'est pas le même r' ni e_r' quand sphérique!!! ) ici, c'est le vecteur unitaire qui dirige [Om) où m est la projection de M sur (Oxy) parallélement à (Oz) et z est par contre la même valeur que dans le repère cartésien.

je ne peux pas faire mieux,désolé et bon courage.

[Rockleader]

Merci pour ton aide, je replace bien mieux les choses dans mon esprit maintenant. Reste à voir si j'arriverais à appliquer aux exos.

Encore une fois merci infiniment.

[Rockleader]

en sphérique, tu as vect(OM)=r.e_r donc en cartésien vect(OM)=r.cos(phi)cos(théta)vect(i) + r.cos(phi)cos(théta)vect(j) + r.sin(phi)vect(k)

N'y aurait il pas une erreur ici ?


J'ai trouvé quelque part que la composante e_r vaudrait plutot:

sin théta . cos phi e_x + sin théta.sin phi e_y + cos théta e_z

[jlb]

N'y aurait il pas une erreur ici ?


J'ai trouvé quelque part que la composante e_r vaudrait plutot:

sin théta . cos phi e_x + sin théta.sin phi e_y + cos théta e_z

oui, j'ai écris deux fois la même composante! avec phi angle Om,OM et théta Ox,Om ( j'ai corrigé, merci!!)

après si tu prends phi angle Oz,OM cela change l'expressions des projections


ton expression correspond à théta angle Oz,OM et phi Ox,Om

on a donc la même chose mais on ne parlait pas des mêmes angles, c'est tout (j'ai les versions sur deux livres différents, utilise la version de ton cours!!!)

[Rockleader]

ton expression correspond à théta angle Oz,OM et phi Ox,Om

Oui c'est bien ça.

Ok je comprends mieux, merci beaucoup pour ton aide !

J'essaierais d'appliquer maintenant.

[Rockleader]

J'arrive à tout retrouver à partir de a figure sauf la composante e_r.

Sa ne m'empêche pas de faire l'exo puisqu'il suffit de connaître l'expression par coeur au final. Mais j'aimerais pouvoir le retrouver sur le dessin.



Pour moi quand je regarde e_r sur mon dessin, j'ai l'impression qu'il s'agit de :

- cos (théta) e_x + sin(théta) e_y + cos(théta) e_z

Je dois mal visualiser le truc; parce que j'ai le bon schéma cette fois.

Au final qu'est ce qu'il fait que l'on retrouve du phi dans cette expression.


Désolé je pense que le soucis vient juste que j'arrive pas à visualiser une sphère à partir du trièdre e_r,e_phi,e_théta.

Si quelqun a un schéma montrant la sphère dessiné avec les axes en questions je pense que cela m'aiderait beaucoup.




Autre petite confirmation: on a bien

r = p = racine de x²+y²+z² ?? (En tout cas au niveau de l'expression les valeurs de x et y peuvent différer).

Et phi = arctan y/x ?
théta = arcos de x/p ?

p étant le module de 0 au projeté M' de M dans la base cylindrique.

[jlb]

pour visualiser en cylindrique, c'est facile: à r fixe et théta fixe, z varie parallélement à Oz ( c'est une génératrice du cylindre, Oz est une directrice du cylindre) par contre à r fixe et z fixe, le point décrit un cercle quand théta varie (c'est une base du du cylindre)

pour visualiser en sphérique, c'est facile:à r fixe et phi fixe ( angle entre Oz et OM) tu te balades en faisant varier théta sur un parallèle de ta sphère ( tu peux alors imaginer que la direction de e_théta correspond à une petite variation de M dans ces conditions(r, phi fixes)) (tu décris un cercle comme un parallèle sur mappemonde) et à r fixe et théta fixe ( angle entre Ox et Om m projeté de M sur Oxy) tu te balades en faisant varier phi sur méridien( tu peux alors imaginer que la direction de e_phi correspond à une petite variation de M dans ces conditions (r,théta fixes)) tu décris un cercle comme un méridien sur mappemonde.

et dans tous les cas tu peux imaginer la direction de e_r en faisant une petite variation de M ( à z et théta fixe en cylindrique, à théta et phi fixes en sphérique)

en cylindrique r=Om=x²+y² et OM=r²+z²=x²+y²+z²

en sphérique r=OM=x²+y²+z²

bon, là je ne peux plus rien :ptdr: