Mécanique, systèmes à masse variable

[Skullkid]

Bonsoir, je bute sur une question qui je pense est très simple, mais dont je ne comprends pas la démarche :

On souhaite mettre en orbite un satellite de masse au moyen d'une fusée de masse à vide . La fusée éjecte vers l'arrière des gaz produits par la réaction chimique d'un comburant et d'un combustible. La vitesse d'éjection par rapport à la fusée est (u est constant) dirigée en sens contraire de la vitesse de la fusée.

A l'instant t la masse de l'engin est où est la masse du combustible et du comburant non encore utilisés.

En considérant dans le référentiel galiléen le système fermé constitué de la fusée et du carburant éjecté, montrer en établissant un bilan dans l'intervalle de temps dt que l'on peut écrire que (où est le champ de pesanteur à la distance r du centre de la Terre, et désigne la variation algébrique de la masse de la fusée pendant le temps dt).

Mon problème c'est qu'à chaque fois je suis incapable de faire ces fameux "bilans", j'ai essayé de prendre la chose sous plusieurs angles, mais qui je suppose sont tous faux, puisque je n'arrive pas au bon résultat. J'ai essayé d'appliquer la RFD à la fusée seule, au carburant éjecté seul ou au système entier, mais rien n'y fait. Je suppose que je fais des erreurs "de fond", mais j'arrive pas à les cerner...

Merci à qui pourra me remettre sur les rails :we:

[foo9]

Je suis pas sûr de comprendre ta question. Ces quoi ces bilans dont tu parles ?
Ici je ne vois que le théorème de conservation de la quantité de mouvement (RFD) :
dp/dt = F
Or p = mv
=> mdv/dt+vdm/dt = F
Si m = cte (cas habituel) dm/dt=0 et il ne reste que mdv/dt = F

[Skullkid]

Quand j'applique la RFD à la fusée seule j'obtiens , ce qui n'est pas l'expression demandée, je ne vois pas de raison pour laquelle serait égale à (et mon expression est sûrement fausse, non ?)

Si je l'applique à l'ensemble, qui a une masse constante entre t et t + dt, et l'accélération , ça me donne , ce qui me paraît encore plus absurde...

En ce qui concerne les bilans, on en faisait du même genre surtout en thermo l'année dernière, du genre "pendant dt il passe dn moles avec une enthalpie molaire dh..." et on en déduisait des relations entre les dérivées. Je suppose que c'est le même principe ici, puisque l'énoncé dit de "faire un bilan", mais j'arrive pas à trouver de raisonnement similaire...

Ou alors j'ai carrément tout faux ? (ce qui est bien probable...)

[foo9]

A l'instant t le système a une vitesse v et une masse m.
A l'instant t+dt la fusée a une vitesse v+dv et une masse m-dm et les gaz éjectés une masse dm et une vitesse u+v.
La variation d'impulsion du système (fusée+gaz)
est donc dp = (m-dm)(v+dv)+(u+v)dm - mv = mdv+udm
Ainsi
dp/dt = mdv/dt+udm/dt
(p,v et u sont des vecteurs). Il n'y pas de signe - devant u.

[Skullkid]

Le signe - vient du fait que dans l'énoncé on considère que la fusée a une masse m+dm et le gaz une masse -dm. Merci beaucoup de m'avoir éclairé !

Par contre, une dernière chose que je ne comprends pas : si on développe ton expression, il y a un terme en dm.dv, on doit le considérer comme négligeable ou quelque chose du genre ?

[foo9]

Oui. C'est un terme du 2ème ordre. On le néglige devant ceux du premier ordre.

[Skullkid]

Ok, merci bien =)

[foo9]

Merci également (pour l'effort de compréhension).