Problème de constantes

[Jonny]

Salut,
J'ai un dm de physique pour jeudi auquel je m'attaque en ce moment même. L'exercice que je viens de commencer est sur l'énergétique en mécanique.

Je dois calculer une énergie potentielle élastique : dans mon cours j'ai avec x la longueur du ressort et lo sa longueur à vide.

Partout ailleurs (wikipédia et un autre site en fait ^^) je ne trouve pas la constante dans la formule proposée (et j'ai remarqué exactement la même chose pour l'énergie potentielle de pesanteur).

Que dois-je faire ? Sachant qu'en raisonnant avec la constante, je trouve l'énergie potentielle totale = (en identifiant avec les Conditions initiales) Or c'est impossible(ca dépend même plus de k... Et au niveau dimensionnel...) Sans la constante ça m'a l'air plus juste.

J'aimerais raisonner par moi-même avant de demander de l'aide sur l'exo (chose que je ferai peut-être quand même si je galère trop !), mais si ça peut vous aider pour me répondre, je peux poster mon énoncé.

Merci de votre aide.

[le_fabien]

Bonjour,
dans mes souvenirs de ressort , Ep=Ep elastique+Ep pesanteur, il me vient que souvent on étudiait le mouvement du ressort " horizontale " , et on prennait Ep pesanteur =0 dans ce cas. Si cela peut t'aider. :we:

[Dominique Lefebvre]

Salut,
J'ai un dm de physique pour jeudi auquel je m'attaque en ce moment même. L'exercice que je viens de commencer est sur l'énergétique en mécanique.

Je dois calculer une énergie potentielle élastique : dans mon cours j'ai avec x la longueur du ressort et lo sa longueur à vide.

Partout ailleurs (wikipédia et un autre site en fait ^^) je ne trouve pas la constante dans la formule proposée (et j'ai remarqué exactement la même chose pour l'énergie potentielle de pesanteur).

Que dois-je faire ? Sachant qu'en raisonnant avec la constante, je trouve l'énergie potentielle totale = (en identifiant avec les Conditions initiales) Or c'est impossible(ca dépend même plus de k... Et au niveau dimensionnel...) Sans la constante ça m'a l'air plus juste.

J'aimerais raisonner par moi-même avant de demander de l'aide sur l'exo (chose que je ferai peut-être quand même si je galère trop !), mais si ça peut vous aider pour me répondre, je peux poster mon énoncé.

Merci de votre aide.

Bonjour,
Bonne question ... La plupart des profs négligent la constante , ce qui est légitime, mais n'expliquent pas pourquoi, ce qui l'est moins.
Rappelons qu'en physique, ce n'est pas la définition de l'énergie absolue qui nous intéresse, mais la variation ou l'échange d'énergie entre un système et le reste du monde. Ce qui explique que la constante n'a que peu d'importance.
Il y a un aspect des choses qui échappe souvent à l'explication. Pour un système donné, son énergie potentielle ou cinétique, bref son énergie mécanique ne peut être définie que dans un référentiel donné. Très important le référentiel !!! Vous allez dire que je suis polarisé par les référentiels, et bien oui!

Prenons un exemple simple, le problème classique de 1ere, qu'on voit tous les jours ici : le skieur qui dévale une pente. Invariablement, on calcule son énergie mécanique en supposant que son énergie potentielle est nulle au niveau du sol. Mais personne ne demande jamais pourquoi, c'est curieux! Après tout, si on creuse un trou, le skieur tombera dedans, ce qui signifie que son énergie potentielle n'était pas si nulle que ça...
Elle est nulle, parce que conventionnellement, j'ai décidé que dans mon référentiel, elle était nulle pour h=0, origine prise au sol.
Si vous allez plus loin dans la définition de l'énergie potentielle (ici de pesanteur), vous vous apercevrez qu'elle est obtenue par l'intégration d'un produit scalaire (en fait un travail élémentaire) et que donc, une constante apparait. On annule cette constante en posant par convention que l'énergie potentielle d'un point matériel (on fait de la physique hein) situé à une distance infinie de la masse génératrice du potentiel de gravitation (la Terre ici) est nulle.

Le raisonnement et la présence d'une constante additive ont les mêmes caractéristiques dans le cas de l'énergie potentielle élastique d'un ressort, qu'il soit dans un plan horizontal ou vertical.

En principe, les cours de mécanique expliquent cela. Et je le répète encore: pensez à définir le référentiel dans lequel vous travaillez!

[Black Jack]

J'aimerais raisonner par moi-même avant de demander de l'aide sur l'exo (chose que je ferai peut-être quand même si je galère trop !), mais si ça peut vous aider pour me répondre, je peux poster mon énoncé.

Fais donc cela, poste l'énoncé complet.

... Et ce que tu as fait pour y répondre dans un texte séparé.

Ne fait pas un mix de l'énoncé avec tes réponses, c'est la meilleure façon pour que le lecteur s'embrouille.

:zen:

[Jonny]

Merci pour vos réponses,
je vais poster mon énoncé tout à l'heure.

Pour répondre à Dominique, cela veut dire que si je développe ma formule

, je pourrais même dans ce cas supprimer le de l'expression de mon énergie, puisque je ne m'intéresse qu'à la variation ?(c'est un exemple, mais donc en général je peux supprimer les termes constants de l'expression d'une énergie ?)

Mais à partir de ce moment là, si j'exprime une autre énergie potentielle, son expression ne sera-t-elle pas faussée ?

Bonjour, dans mes souvenirs de ressort , Ep=Ep elastique+Ep pesanteur, il me vient que souvent on étudiait le mouvement du ressort " horizontale " , et on prennait Ep pesanteur =0 dans ce cas. Si cela peut t'aider.

Merci, justement dans ce cas on travaille sur l'axe horizontal, donc je néglige le travail du poids, et je ne m'occupe pas de l'énergie potentielle de pesanteur.

_________________________________________________
Voilà mon énoncé :
Un point matèriel M de masse m est attaché à deux ressorts horizontaux identiques fixés à deux points fixes A et B.
Constante de raideur des ressorts : k
Longueur à vide des deux ressorts : lo
On prend comme origine le milieu de AB, et quand M est à l'origine (équilibre), la longueur de chaque ressort vaut l1. (AB) est l'axe des abscisses, et x(t) est la position de M à l'instant t.

A t=0, M est abandonné sans vitesse initiale d'une position x0
Le mouvement ayant lieu sans frottement, établir l'équation du mouvement de M par étude énergétique.

Voilà la première question. Je poste ce que j'ai fais dans le post suivant.

[Jonny]

On positionne l'étude dans le référentiel terrestre supposé galiléen. On étudie le système M de masse m.
Bilan des forces :
R1 force de rappel du premier ressort :
Direction (AB)
Sens Si x(t)>0, vers A ; Si x(t)0, vers B ; Si x(t)<0, vers A.

P Poids : Direction verticale, et sens vers le bas.

On travaille sur l'axe AB, on néglige le travail du poids. Comme Il n'y a pas de frottements, les forces sont conservatives, et donc il y a conservation de l'énergie mécanique.

Calcul de Ep(t)
C'est la somme de deux énergies potentielles Ep1 et Ep2 liées aux ressorts 1 et 2.




Pour x=0, Ep=0 donc



Voilà ce que j'ai fait pour l'instant. Peut-être que l'introduction de la constante permet la simplification dont parle Dominique dans son post ? Je m'en rends compte maintenant.

EDIT : Voilà mon équation de mouvement,

[Black Jack]

Joonny

Tu as emprunté le chemin que je voulais développer avant de partir manger.

Dire que l'énergie cinétique (sans autres précisions) est définie à une constante près, constante dépendant du référentiel utilisé n'est absolument pas vrai dans énormément de cas.

Dans le cas d''un ressort droit, l'énergie potentielle du ressort est Ep = (1/2).k.(Delta L)²

Avec Delta L la différence de longueur du ressort à vide et du ressort dans l'état où on veut connaître son énergie potentielle.

Cette relation Ep = (1/2).k.(Delta L)² est absolument indépendante du référentiel choisi d'observation.

Ep est une valeur absolue et n'est donc pas définie à une constante près.


Si, dans un problème spécifique, on est amené à introduire un référentiel d'espace, et qu'on désire exprimer l'énergie potentielle d'un ressort dont une extrémité est fixe à partir des coordonnées de son autre extrémité, il va apparaître une constante dans l'expression mais pas comme simple "décalage".

Un référentiel d'espace à une dimension suffit, si elle est dans la direction de la droite passant par le ressort.

Si on choisit dans ce cas, l'origine du repère à l'endroit du bout fixe du ressort, et qu'on appelle x l'abscisse de l'autre bout on a:

Delta L = |x - Lo| et E potentielle du ressort = k.(x-Lo)²

Si on veut changer de repère et décaler par exemple l'origine du repère d'une longueur d, il suffit de faire un changement tel que x = X - d (ou x = X + d suivant le sens du décalage).

On a alors E potentielle du ressort = k.(x-Lo)² = k.(X - d -Lo)²= k.[(X-Lo)² - 2d(X-Lo) + d²]

Ep = k.(X-Lo)² - 2k.d.(X-Lo) + k.d²

Et il est impossible d'écrire Ep = k.(X-Lo)² + K avec K une constanre car on aurait alors:
K = - 2k.d.(X-Lo) + kd², K est alors dépendant de X et et n'est donc pas une constante, sauf dans le cas particulier évidemment où d = 0 et alors la constante = 0
@@@@@@@@@@@@@@
Pour ton exercice:

OK pour Ep1 et Ep2 et Ep mais tu vires les "+ constante" qui n'ont rien à faire là.

C'est après que cela se gate.

Tu dois calculer Ep pour x = xo (abscisse de la masse à t =0 ) et on a aussi v(0) = 0

Ep(0) = k((l1-lo)²+xo²)

Comme à t := 0, la vitesse de la masse est nulle, son énergie cinétique est nulle aussi -->

Em = Ep(0) + 0
Em = k((l1-lo)²+xo²)

Et donc si la masse est à l'abscisse x en court de mouvement, on a:

k((l1-lo)²+x²) + (1/2)mv² = Em

k((l1-lo)²+x²) + (1/2)mv² = k((l1-lo)²+xo²)
Avec v la vitesse à l'instant où le mobile passe à l'abscisse x.

Simplifie k((l1-lo)²+x²) + (1/2)mv² = k((l1-lo)²+xo²) ...
et tu auras ton équation différentielle, qu'il suffira de résoudre.

:zen:

[Jonny]

Merci beaucoup de ton aide !
C'est exactement ce que j'avais fait, mais avec Ep=kx^2.. Tu as dit que tu étais d'accord avec ce Ep.. ? Tu parlais de celui au dessus sûrement, celui avant que je n'identifie la constante. :hein:

Que faut-il que je fasse alors ? Ne jamais mettre ce "+ constante" ?

EDIT : Mais de toutes façons dans ce cas là ce que j'ai fait est juste : ça me donne pareil. Que faut-il retenir ? Le "+constante" a marché ici, mais ce ne sera pas toujours le cas ?

[Dominique Lefebvre]

Pour calculer l'énergie potentielle d'un ressort, on part de l'expression du travail élémentaire de la force de rappel -K(x - l0), qui s'écrit dW = -K(x - l0)dx (attention dW s'écrit plutôt deltaW !)

Ce travail élémentaire est égale à la différentielle de l'énergie potentielle élastique, soit dEp = -K(x - l0)dx, formule que l'on trouve dans tous les cours de prépa...

Je détaille pour être très clair pour intégrer cette expression dEp/dx = -K(x - l0).
Bon, maintenant, en vous souvenant bien de votre cours de math sur l'intégration, quel est le résultat de l'intégration de cette EDO?

Pas de constante ai-je lu?

PS : on CONVIENT que Ep = 0 pour x = l0 et la constante disparait, mais il s'agit d'une pure convention...

[Jonny]

D'accord, la constante est présente dans la formule et je comprends d'où elle vient. Donc ce que j'ai fait est juste ? Je mets un "+ constante", et j'identifie ?

[Black Jack]

Je n'ai pas vraiment vérifié , mais je pense que tu devrais arriver à l'équation :
v² + (2k/m).(x²-xo²) = 0

Il y a donc un carré qui affecte la vitesse dans mon résultat, et pas dans le tien.

Il faut voir laquelle des 2 équations est la correcte.

... Et je suppose que ce n'est pas fini, il faut ensuite probablement résoudre cette équation différentielle en tenant compte des conditions initiales (x(0) = xo et v(0) = 0)), et arriver à exprimer x en fonction du temps t.

x(t) = ...

Essaie.

:zen:

[Jonny]

Oups j'ai mal recopié, j'ai moi aussi un carré en fait !

Mais à propos de la constante, que faut-il que je retienne s'il vous plaît ? Au delà de ce simple exo, j'aimerais surtout savoir si je dois ou pas en tenir compte.

[Dominique Lefebvre]

Oups j'ai mal recopié, j'ai moi aussi un carré en fait !

Mais à propos de la constante, que faut-il que je retienne s'il vous plaît ? Au delà de ce simple exo, j'aimerais surtout savoir si je dois ou pas en tenir compte.

Tu dois la faire apparaître et expliquer dans quelles conditions tu l'annules. J'ai écris à tort qu'elle disparaissait. En fait, elle ne disparaît pas, elle est simplement nulle.
Beaucoup font encore des erreurs d'intégration, semble-t-il!

[Jonny]

Merci, qu'est ce qui est à revoir dans la rédaction de ma réponse ? Telle quelle, elle est fausse ?

[Black Jack]

Pour la "constante"

Pour moi, QUEL QUE SOIT LE REFERENTIEL on a :
Ep = (1/2).k.(Delta L)²
Avec Delta L la différence de longueur du ressort entre sa position de repos (ni étiré, ni comprimé) et la position considérée.

Si on choisit un repère pour faire par exemple une étude de mouvement, le delta L est indépendant du repère spatial choisi, mais si on désire exprimer l'énergie potentielle du ressort en fonction des positions des extrémités du ressort déterminées par leurs coordonnées dans le repère choisi, et bien l'expression de l'énergie dépend alors du repère choisi (mais pas sa valeur).

On peut exprimer l'énergie potentielle du ressort par rapport à la position (et donc des coordonnées) de ses 2 extrémités.
Mais écrire le "+ constante" ne rime à rien.
On a d'ailleurs montré dans un message précédent que lors d'un changement de repère, il n'était pas question de passer d'une expression à l'autre de l'énergie potentielle d'un ressort par le simple ajout d'une constante sur l'énergie potentielle.

Un ressort dans un certain état de compression ou d'étirement a une énergie potentielle indépendante du repère spatial, cette énergie vaut comme déjà dit : Ep = (1/2).k.(Delta L)²

Ce problème (énergie potentielle élastique d'un ressort) est bien différent de l'énergie potentielle de gravité d'un objet.
Dans le cas de l'énergie potentielle de gravité d'un objet, changer de référentiel décale bien les énergies potentielles d'une constante, cette constante est égale au travail que la force pesanteur ferait pour amener l'objet en question de l'origine du repère 1 à celle du repère 2.

:zen:

[Dominique Lefebvre]

L'énergie mécanique est définie dans un référentiel donné (à cause de la définition de l'énergie potentielle de pesanteur, qui fait référence à une énergie potentielle de référence, déclarée nulle dans un référentiel donné).

L'énergie potentielle élastique est définie à une constante près (que l'on convient de déclarer nulle) par définition, puisque la définition de cette énergie résulte d'une intégration.

[Jonny]

Merci pour vos réponses, je pense avoir compris. :id:

[Black Jack]

"Pas de constante ai-je lu?

PS : on CONVIENT que Ep = 0 pour x = l0 et la constante disparait, mais il s'agit d'une pure convention..."

La convention n'avait guère le choix pour rester crédible.

L'énergie potentielle élastique du ressort correspond au travail susceptible d'être fourni par le ressort après être libéré de toute contraintes, or le travail élastique que peut fournir le ressort si il n'est n'y étendu, ni comprimé est 0 et ceci d'ailleurs quel que soit le réfentiel qu'on aurait pu choisir.

Donc la constante ne peut être que nulle ...

On peut jouer sur les mots en disant qu'il y a une constante mais qu'elle est nulle...
Ou bien modifier le concept de l'énergie potentielle élastique d'un ressort ou ...

Traîner des constantes inutiles dans les écrits, cela n'a aucun intérêt.

Mais pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué.

De toute manières, Jonny, fais comme le prof l'a écrit car même s'il a tort, il ne voudra jamais l'admettre.

Tu as pu constater toi même sur le net que tous ou presque ne mentionnent pas cette constante (dans le cas énergie élastique), soit ils ont tous tort et le peu qui la mette ont raison, soit c'est l'inverse.

:zen:

[Black Jack]

L'énergie potentielle élastique est définie à une constante près (que l'on convient de déclarer nulle) par définition, puisque la définition de cette énergie résulte d'une intégration.

Une intégration (bornes déterminées) n'entraîne pas de constante, ce n'est pas une primitivation.

La constante éventuelle qu'on verrait apparaître dans l'expression proviendrait d'une équation différentielle, mais cette constante devrait alors être déterminée par la condition initiale : le ressort sans contrainte ne peut pas fournir de travail élastique et cette condition entraîne la constante = 0.

Non ?

Si oui, alors il faut la rayer à tout jamais des syllabus.

Les constantes qu'on laisse dans les formules, sont là pour tenir compte du référentiel choisi ou des conditions initiales ou autres d'un phénomène.

Si quel que soit le référentiel d'étude et quelles que soient les conditions initiales ou autres du problème, il n'y a pas lieu d'adapter la valeur d'une constante, alors on écrit sa valeur, et dans le cas où elle vaut 0 dans une somme on ne l'écrit pas, tout simplement.

Mais soit, personne ne changera d'avis, alors ...

:zen:

[Jonny]

Une intégration (bornes déterminées) n'entraîne pas de constante, ce n'est pas une primitivation.

Puisque tu en parles, j'ai une question qui concerne les intégrations en énergétique justement.
Je ne comprends pas pourquoi on intègre un travail élémentaire le long de son déplacement pour trouver le travail global. Quelle différence faire entre cette intégration là, et celle en maths, celle que tu appelles la primitivation ?

En général j'aime bien comprendre les phénomènes en ressentant les choses. Mais l'an dernier on a vu l'énergétique à fond la caisse à la fin de l'année, et je me suis jamais penché sur cette question.
Merci d'avance encore une fois ^^