Oscillateurs mécaniques

[Anonyme]

Bonjour tout le monde,

je me trouve face à quelques difficultés :

exercice 1: Oscillateur amorti

Soit un oscillateur de masse m, soumis à une force de rappel -ky, une force
de frottement -µdy/dt dont le mouvement est régi par l'équation
différentielle:

md²y/dt + µdy/dt + ky = 0

L'équation du mouvement ( solution oscillante amortie ) est : y =A
e^(-§t)sin(wt +angle)

Calculer § en fonction de m, µ et k.

...... En fait j'avais déjà fait un exercice du genre sauf avec un mouvement
harmonique simple, donc j'avais juste à remplacer y par sa valeur alors les
sin et cos s'annuler et je trouvais §²= k/m mais dans ce cas là même en
remplaçant je n'arrive pas à trouver un résultat correcte les exponentielles
ne s'annulant pas :s

Exercice 2: Oscillateur forcé

Soit un oscillateur de masse m, soumis à une force de rappel -ky, une force
de frottement -µdy/dt et une force extérieure
Focos(wf.t)
Quelle est la fréquence du mouvement de cet oscillateur, en régime
permanent?

.... Sachant que T= 2Pi/ w et que N = 1/T en fait j'ai écrit l'équation du
mouvement:
ky+µdy/dt+ d²y/dt² = Focoswf.t
j'ai pensé qu'en régime permanent, dy/dt s'annulait? ai-je bien fait? et
donc j'ai pensé rechercher w et remplacer ds T= 2Pi/w et ça ne m'a rien
donné :s...donc je sais pas trop quoi faire

exercice 3: c'est la même question que l'exercice précédent. Maintenant
l'oscillateur est résonnant. Aqu'elle fréquence l'amplitude du mouvement
est-elle maximale?
.... Il me semble que la fréquence est indépendant de l'amplitude non?

exercice 4:

une balançoire portant un enfant de 35kg est écartée de sa position
d'équilibre ( choisie comme une ange alpha puis lâchée) Quelles sont les
propositions justes??

Ici j'ai juste des doutes à propos de deux propositions :

-La pulsation du mouvement est égale à la pulsation propre de la balançoire
portant l'enfant
( il me semble que quand la pulsation du mouvement = à pulsation propre, la
balançoire entre en résonance ce qui serait dangereux non? )
- La vitesse est maximale lorsque la balançoire passe par l'origine...
( je sais qu'à l'origine Ec est nulle, je ne sais pas s'il y a un rapport
avec la vitesse??? )

Voilà merci d'avance pour vos réponses, j'ai essayer de faire au mieux ces
exercices mais je bloque vraiment.

Caroline

[Anonyme]

"jk" a écrit dans le message de news:
41910475$0$25343$79c14f64@nan-newsreader-05.noos.net...
> Bonjour tout le monde,
>
> je me trouve face à quelques difficultés :
>
> exercice 1: Oscillateur amorti
>
> Soit un oscillateur de masse m, soumis à une force de rappel -ky, une
> force
> de frottement -µdy/dt dont le mouvement est régi par l'équation
> différentielle:
>
> md²y/dt + µdy/dt + ky = 0
>
> L'équation du mouvement ( solution oscillante amortie ) est : y =A
> e^(-§t)sin(wt +angle)
>
> Calculer § en fonction de m, µ et k.
>
> ..... En fait j'avais déjà fait un exercice du genre sauf avec un
> mouvement
> harmonique simple, donc j'avais juste à remplacer y par sa valeur alors
> les
> sin et cos s'annuler et je trouvais §²= k/m mais dans ce cas là même en
> remplaçant je n'arrive pas à trouver un résultat correcte les
> exponentielles
> ne s'annulant pas :s

Pour déterminer les grandeurs § et w, il faut effectivement calculer les
deux dérivées et remplacer ensuite dans l'équation différentielle les
expressions de d2y/dt2, dy/dt et y.

Vous aboutirez alors à une expression du type :

A*e^(-§t) *B=0 donc B=0.

Dans B, vous mettrez sin(wt +angle) et cos(wt +angle) en facteur pour
aboutir à :

C*sin(wt +angle)+D*cos(wt +angle)=0

Et maintenant, à quelle condition cette égalité est-elle vraie À TOUT
INSTANT ?

C=0 et D=0 et vous trouverez facilement § et (un peu moins facilement !) w.

> Exercice 2: Oscillateur forcé
>
> Soit un oscillateur de masse m, soumis à une force de rappel -ky, une
> force
> de frottement -µdy/dt et une force extérieure
> Focos(wf.t)
> Quelle est la fréquence du mouvement de cet oscillateur, en régime
> permanent?
>
> ... Sachant que T= 2Pi/ w et que N = 1/T en fait j'ai écrit l'équation du
> mouvement:
> ky+µdy/dt+ d²y/dt² = Focoswf.t
> j'ai pensé qu'en régime permanent, dy/dt s'annulait? ai-je bien fait? et
> donc j'ai pensé rechercher w et remplacer ds T= 2Pi/w et ça ne m'a rien
> donné :s...donc je sais pas trop quoi faire

Je pense que l'expression "régime permanent" est mal choisie. Relisez votre
cours sur les équations différentielles, parce que c'est là le noeud du
problème...

> exercice 3: c'est la même question que l'exercice précédent. Maintenant
> l'oscillateur est résonnant. Aqu'elle fréquence l'amplitude du mouvement
> est-elle maximale?
> ... Il me semble que la fréquence est indépendant de l'amplitude non?

Eh non, l'amplitude dépend de la fréquence...

--
rob

[Anonyme]

Merci pour vos réponses, effectivement dans le cahier d'exercice ils mettent
bien " régime permanent " je ne sais pas ce qu'il en est ... :s
caroline

[Anonyme]

"jk" a écrit dans le message de news:
41910475$0$25343$79c14f64@nan-newsreader-05.noos.net...
> Exercice 2: Oscillateur forcé
>
> Soit un oscillateur de masse m, soumis à une force de rappel -ky, une
> force
> de frottement -µdy/dt et une force extérieure
> Focos(wf.t)
> Quelle est la fréquence du mouvement de cet oscillateur, en régime
> permanent?
>
> ... Sachant que T= 2Pi/ w et que N = 1/T en fait j'ai écrit l'équation du
> mouvement:
> ky+µdy/dt+ d²y/dt² = Focoswf.t
> j'ai pensé qu'en régime permanent, dy/dt s'annulait? ai-je bien fait? et
> donc j'ai pensé rechercher w et remplacer ds T= 2Pi/w et ça ne m'a rien
> donné :s...donc je sais pas trop quoi faire

Le "régime permanent" de l'exercice fait sans doute référence à la solution
particulière de l'équation différentielle. Celle-ci a pour solution générale
la somme de la solution générale de l'équation différentielle sans second
membre (celle de l'exercice 1 !) et de la solution particulière de
l'équation différentielle avec second membre :

y=Ae^(-§t)sin(w0t +angle) + ypar (avec w0 pour différencier de w)

Le régime permanent est obtenu quand, au bout d'un certain temps, e^(-§t) ->
0 et donc y -> ypar.

Et d'autre part, ypart=Y0*sin(wt+alpha). Donc la fréquence est ...

> exercice 3: c'est la même question que l'exercice précédent. Maintenant
> l'oscillateur est résonnant. Aqu'elle fréquence l'amplitude du mouvement
> est-elle maximale?
> ... Il me semble que la fréquence est indépendant de l'amplitude non?

Remplacer la solution du "régime permanent" précédente dans l'équation
différentielle et en déduire l'expression de Y0 (amplitude) en fonction de w
et w0. Puis répondez à la question... (étude de fonctions).

--
rob