Question sur oscillateurs forcés

[Mathusalem]

Ce matin j'ai réfléchi au concept d'oscillateur forcé, avec une force sinusoïdale qui agit dessus.

La résolution de l'équation différentielle



Donne la solution générale :

où

Il y a un élément que je ne comprends pas. Tout en restant dans les modèles théoriques (aucune défo plastique),
l'équation nous dit que si w = wo, ou wo est la fréquence propre, alors l'amplitude devient immédiatement infinie. Or, le gain d'énergie du ressort est la puissance dissipée sur un intervalle de temps du moteur qui force le ressort. Donc le gain d'énergie horaire est en principe fini.
Or si le ressort développe instananément une amplitude infinie, l'énergie l'est aussi.

Où se situe le problème ?

[fatal_error]

salut,

c'est trop loinpour moi toussa, mais t'es sûr de leq?

parce que genre pour w supérieur à w0, ben tas une racine avec une opérande négative à l'intérieure.

[Mathusalem]

salut,

c'est trop loinpour moi toussa, mais t'es sûr de leq?

parce que genre pour w supérieur à w0, ben tas une racine avec une opérande négative à l'intérieure.

Il manque un carré sur la soustraction

[Black Jack]

Il y a plusieurs choses suspectes.

Ta relation donnant la solution générale x(t) = ... n'est pas homogène et de plus, outre cela, elle me fait tiquer car :
Elle ne comporte qu'une seule constante d'intégration (Phi) alors que soit :
1°) Si on n'a pas tenu compte des conditions initiales, il devrait avoir 2 constantes d'intégration (puisque l'éq. diff est du second degré).
2°) Si on a tenu compte des conditions initiales (qui doivent être au nombre de 2), les constantes d'intégration ne devraient plus figurer littéralement dans l'équation.

Les solutions de l'équation différentielle avec le second membre = 0 (sans second membre comme on dit souvent erronément puisqu'une équation à toujours 2 membres) sont :
x = A.sin(wo.t) + B.cos(wo.t) Avec A et B des constantes réelles.

Une solution particulière de l'équation différentielle avec le second membre = (F/m).sin(wt) est :
SSi w est différent de wo : x = [F/(m(wo²-w²)].sin(wt)

Les solutions générales de l'équation différentielle données sont donc :
SSi w est différent de wo (imposé car en court de résolution, on divise par (wo²-w²)) :

x(t) = A.sin(wo.t) + B.cos(wo.t) + [F/(m(wo²-w²)].sin(wt)

Il reste à déterminer A et B à l'aide des conditions initiales.

Exemple : On choisit x(0) = 0 et (dx/dt)(0) = Vo

x(0) = 0 --> B = 0
On a donc : x(t) = A.sin(wo.t) + [F/(m(wo²-w²)].sin(wt)

dx/dt = A.wo.cos(wo.t) + [w.F/(m(wo²-w²)].cos(wt)

(dx/dt)(0) = A.wo + [w.F/(m(wo²-w²)] = Vo

A = [Vo - (w.F/(m(wo²-w²))]/wo

Et on constate bien que A ne peut pas exister si wo = w ou si on veut que A --> oo si wo --> w

SSi w est différent de 0, alors :

x(t) = [(Vo - (w.F/(m(wo²-w²)))/wo] .sin(wo.t) + [F/(m(wo²-w²)].sin(wt)

x(t) = Vo.sin(wot) + [F/(m(wo²-w²)] * [sin(wt) - (w/wo).sin(wo.t)]
******
Il ne faut alors pas considérer que l'amplitude du mouvement passe instantanément de 0 (à t=0) à l'oo en t = 0+ (si w --> wo), en effet :

Par la relation trouvée ci-dessus :

A.wo + [w.F/(m(wo²-w²)] = Vo

Quelle que soit la valeur de A finie, si w--> wo, c'est que Vo --> oo

Donc les conditions initiales du mouvement doivent être telles que la vitesse initiale est "presque" infinie. (même si ce "presque infinie" fera hurler certains).
******
Donc, pour que "physiquement" l'équation du mouvement ait une signification, il faut que les conditions initiales soient connues ...
Et on vient de montrer que si w --> wo, cela impose que la vitesse initiale Vo --> oo
******

Cela veut surtout dire que l'équation différentielle de départ ne peut représenter le mouvement que si on néglige certains phénomènes (comme par exemple le frottement toujours physiquement présent dans un système concret).
Mais si on néglige de tels phénomènes, il faut alors éviter par la suite de pousser un raisonnement aux limites (ici w --> wo) où alors les effets des frottements ne sont plus négligeables "du moins au "démarrage".

On peut faire un raisonnement pour w--> wo pour montrer que l'amplitude des oscillations va tendre vers l'infini et tout peter, mais pour le reste, il faut se méfier de savoir si ce que l'on déduit de l'équation finale (ici pour toi la variation instantanée de l'amplitude) peut l'être en fonction des choses négligées (frottement par exemple ou conditions initiales réalistes).
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Ce genre "d'erreur" est fréquent, on "oublie" des conditions de validité qui ont conduit à un résultat et on applique ce résultat hors conditions.

Exemple typique dans un tout autre domaine:

En optique, (miroirs et lentilles) la plupart des lois établies le sont à la condition que l'objet soit "infiniment" près de l'axe principal... et puis on l'oublie.
Et on dessine sur papier ou on calcule des positions d' images pour des objets bien trop grands et on se plante dans les grandes largeurs.

:zen: