Mouvement elliptique d'une fusée.

[Anonyme]

Bonjour à tous !

Me revoilà, cette fois avec des exercices sur le moment cinétique. Un cours assez dense, et pas hyper simple à utiliser par la suite, donc j'aimerais bien quelques conseils. Voici un exercice sur lequel je bloque un peu :

Une fusée survole la terre avec une trajectoire elliptique. Au point le plus proche de la terre, la distance est de 12,000 KM. Cette distance est exactement égale à la moitié de la distance de la terre au point le plus éloigné de la fusée.

(Aucune autre information n'est donnée, pas même une masse ! ).

1. Trouver l'équation de la trajectoire r() de la fusée, quelle est la vitesse de la fusée au point le plus proche de la terre ?

###

Bon j'inscris simplement la première question pour l'instant, vu que je bloque dessus. Voici selon moi le schéma de la situation :



J'espère que le schéma est correct.. On ne voit pas super bien, mais l'essentiel est là je pense. La terre étant le cercle mauve, et la fusée le rectangle orange.

D'après mon cours, la trajectoire en fonction de l'angle s'écrit :



Avec e l'excentricité, que je peux exprimer en fonction de 12000 et 24000, pour ce que est de K et C, si j'ai bien saisi, dans mon cas, K c'est = -Gmfusée*Mterre, et pour C, r*dérivée de théta.

Est-ce bien l'équation de trajectoire demandée dans un premier temps ?

Et deuxième chose, pour la vitesse au point A, dois-je utiliser le moment cinétique et si oui comment ? Je sais que le moment cinétique, que je noterai J, est égal à m(fusée)*(v(fusée))*r.. Mais ça me paraît compliquer d'aboutir par là.

Sinon puis-je tout simplement dériver l'équation de la trajectoire ?

Merci d'avance pour votre aide :lol3:

[Benjamin]

Salut,

La première question est purement mathématique.
On sait que l'équation polaire d'une ellipse est r(theta) = p/(1+e*cos(theta)).

Ici, en theta = 0, r = 12000 km et en theta = PI, r=24000 km.

Ainsi, p/(1+e) = 12000 km et p/(1-e) = 24000km.

En divisant, il vient (1+e)/(1-e) = 2 soit e=1/3.
Et enfin, p = 12000km * 4/3 = 16000km.

[Anonyme]

Salut,

La première question est purement mathématique.
On sait que l'équation polaire d'une ellipse est r(theta) = p/(1+e*cos(theta)).

Ici, en theta = 0, r = 12000 km et en theta = PI, r=24000 km.

Ainsi, p/(1+e) = 12000 km et p/(1-e) = 24000km.

En divisant, il vient (1+e)/(1-e) = 2 soit e=1/3.
Et enfin, p = 12000km * 4/3 = 16000km.

Salut Benjamin, :lol3:

Okay j'ai saisis, par contre moi je n'ai pas la même chose dans mon cours, j'ai 1+ecos(théta) au dénominateur. Au final, j'arrive à :

r(théta) =

Du coup si c'est purement mathématique, je suppose que j'ai simplement à dériver pour obtenir la vitesse, pas besoin d'utiliser le moment cinétique pour l'instant.

Je poursuis, et vous tiens au courant de la suite des questions de cet exercice.

Merci bien .

[Black Jack]

On suppose que la "fusée" est en orbite (donc moteur coupé)

grand axe = 36000 km

m(2Pi/T)²(36000000/2) = GmM/(36000000/2)²
1/T² = GM/[4.Pi².(36000000/2)³]
1/T² = 6,6742.10^-11 * 5,9742.10^24/[4.Pi².(36000000/2)³]
T = 24030 s
*****

(36000-r)² = r² + 12000² - 2*12000.r.cos(theta)

36000² + r² - 72000r = r² + 12000² - 24000.r.cos(theta)

36000² - 72000r = 12000² - 24000.r.cos(theta)

r(72000 - 24000.cos(theta)) = 36000² - 12000²

r = 1,152.10^9/((72000 - 12000.cos(theta)))

r = 48000/(3 - cos(theta)) (avec r en km) (Equation de la trajectoire).

ou si tu préfères : r = 16000/(1 - (1/3).cos(theta))

excentricité : e = c/a = 6000/18000 = 1/3
Grand axe = 36000 km
Petit axe = 33941 km
*****
L'aire de l'ellipse est A = Pi.a².racine(1-e²)

Or (aire balayée)/durée = Cte

--> Pi.a².racine(1-e²)/T = cte

Et au périhélie (vitesse perpendiculaire au grand axe ) --->

Pi.a².racine(1-e²)/T = (1-e).a.vp/2 (triangle)
---> vitesse au périhélie: Vp = 2Pi*a*racine(1-e²)/[T.(1-e)]

A l'aphélie on arrive à : Va = 2Pi*a*racine(1-e²)/[T(1+e)]
***
vitesse au périhélie = 2Pi*a*racine(1-e²)/[T.(1-e)]
vp = 2Pi*(1/2 * 36000000) *racine(1-1/9)/[24030(1-1/3)]
vp = 6656 m/s

vitesse à l'aphélie = 2Pi*a*racine(1-e²)/[T(1+e)] = 3328 m/s
*****
Mais j'ai utilisé une des lois de Képler (pour trouver les vitesses) , alors que je suppose qu'il fallait le faire en raisonnant avec les moments cinétiques.


Comme toujours, toutes erreurs incluses.

[Anonyme]

Hello Black Jack, merci pour la réponse.

Tout d'abord, je me suis trompé, on ne dérive pas r(théta).. Sinon on trouve 0 comme vitesse v(théta) :).

Moi du coup je suis passé par le moment cinétique, et par la conservation de l'énergie, j'ai écris :

1. Conservation du moment cinétique, du coup le moment cinétique à Rmin (12000 KM) est égal au moment cinétique à Rmax (24000 KM) => m (masse de la fusée)*Rmin*Va = m*Rmax*Vb, avec B le point à l'opposé de A d'après mon dessin.

2. Ensuite j'ai écris la conservation de l'énergie totale entre A et B :

1/2*m*Va^2 - GmM(terre)/Rmin + J^2/2m(Rmin)^2 = 1/2*m*Vb^2 - GmM(terre)/Rmax J^2/2m(Rmax)^2.

(J : moment cinétique, je le rappelle).

De là je trouve une deuxième équation pour Va et Vb, et je peux déduire Va.

Seulement je ne trouve pas pareil, je trouve beaucoup plus.. beaucoup beaucoup plus même :) : 297719 Km.s-1. Vu la vitesse théorique d'une fusée dans l'espace, et vu ce que tu as trouvé, c'est absurde. Où est l'erreur dans mon raisonnement ?

Merci bien.

[Black Jack]

Hello Black Jack, merci pour la réponse.

Tout d'abord, je me suis trompé, on ne dérive pas r(théta).. Sinon on trouve 0 comme vitesse v(théta) .

Moi du coup je suis passé par le moment cinétique, et par la conservation de l'énergie, j'ai écris :

1. Conservation du moment cinétique, du coup le moment cinétique à Rmin (12000 KM) est égal au moment cinétique à Rmax (24000 KM) => m (masse de la fusée)*Rmin*Va = m*Rmax*Vb, avec B le point à l'opposé de A d'après mon dessin.

2. Ensuite j'ai écris la conservation de l'énergie totale entre A et B :

1/2*m*Va^2 - GmM(terre)/Rmin + J^2/2m(Rmin)^2 = 1/2*m*Vb^2 - GmM(terre)/Rmax J^2/2m(Rmax)^2.

(J : moment cinétique, je le rappelle).

De là je trouve une deuxième équation pour Va et Vb, et je peux déduire Va.

Seulement je ne trouve pas pareil, je trouve beaucoup plus.. beaucoup beaucoup plus même : 297719 Km.s-1. Vu la vitesse théorique d'une fusée dans l'espace, et vu ce que tu as trouvé, c'est absurde. Où est l'erreur dans mon raisonnement ?

Merci bien.

J'aurais fait ceci ;

Va = 2.Vb

1/2*m*Va^2 - GmM(terre)/Rmin = 1/2*m*Vb^2 - GmM(terre)/Rmax

1/2*Va^2 - GM(terre)/Rmin = 1/2*Va²/4 - GM(terre)/Rmax

Va²(1/2 - 1/8) = GM(terre).(1/Rmin - 1/Rmax)

Va²(3/8) = 6,6742.10^-11 * 5,9742.10^24.(1/12000000 - 1/24000000)

Va = 6654 m/s

:zen:

[Anonyme]

Re,

Oui tout à fait, c'est ce que j'avais écris avant d'éditer mon message.. J'ai édité car je trouvais faux, mais c'était une erreur d'unité. Donc du coup on est d'accord ! Et je trouve l'utilisation des lois de Kepler plus sympathique. Du coup je me suis un peu plongé dedans, et effectivement grâce à la deuxième loi, on trouve tout de suite :lol3:.

Merci bien .

Je donne la suite des questions de cet exercice, mais je n'ai pas encore vraiment cherché, mais pour que vous ayez une idée :

[B]2. Au point le plus proche (A), la fusée se sépare en deux parties qui ont la même masse. Une des parties rentre dans un mouvement circulaire autour de la terre. Quelle est la vitesse de cette partie ?

3. Quelle est la vitesse de la partie 2, immédiatement après la séparation, si on sait que la partie 1 tourne autour de la terre dans la même direction que la fusée entière avant la séparation.

4. Trouver l'équation du mouvement de la partie 2, et la période des 2 parties (T1 et T2).[/B]

###

Je vais regarder ça, et je vous tiens au courant. Je vais essayer de rester avec Kepler le plus possible, bien que le moment cinétique soit intimement lié. Notamment pour la loi 2.

:zen:

[Anonyme]

Re,

Alors pour la 2., si je dis que tout simplement, puisque la partie 1, rentre dans un orbite circulaire par rapport à la terre, je peux écrire ceci :

m1*V1^2/Rmin = G*m1*Mterre/Rmin^2

(m1 : masse de la partie 1 de la fusée).

Et en déduire V1 de là ?

Merci bien .

[Black Jack]

Re,

Alors pour la 2., si je dis que tout simplement, puisque la partie 1, rentre dans un orbite circulaire par rapport à la terre, je peux écrire ceci :

m1*V1^2/Rmin = G*m1*Mterre/Rmin^2

(m1 : masse de la partie 1 de la fusée).

Et en déduire V1 de là ?

Merci bien .

Oui.

:zen:

[Anonyme]

Ok . Merci !

Pour la 3., j'utilise la conservation du moment cinétique :

mVa*Rmin = m1*V1*Rmin + m2*V2*Rmin (immédiatement après la séparation).

Du coup, vu que j'ai V1 de la question d'avant et que m1 = m2 = m/2 (vu que m1 et m2 sont égales), j'en déduis V2.

Nous sommes là aussi d'accords ?

Merci bien ! :lol3:

[Black Jack]

Ok . Merci !

Pour la 3., j'utilise la conservation du moment cinétique :

mVa*Rmin = m1*V1*Rmin + m2*V2*Rmin (immédiatement après la séparation).

Du coup, vu que j'ai V1 de la question d'avant et que m1 = m2 = m/2 (vu que m1 et m2 sont égales), j'en déduis V2.

Nous sommes là aussi d'accords ?

Merci bien ! :lol3:

Oui.

:zen:

[Anonyme]

Ok ! .

Et enfin pour ce qui est de la dernière question, la 4. :

Bon j'ai V1 et V2, la partie 1 part en mouvement circulaire, tandis que la 2 poursuis le mouvement elliptique que faisait la fusée entière avant la séparation, du coup :

Pour la partie 2 : l'équation de mouvement est la même que pour la fusée entière il me semble, r(théta) = a(1-e^2)/(1-ecos(théta)). Je pense juste à ré-indiquer théta sur le dessin.

Pour ce qui est des deux temps T1 et T2 disons : T2 = T de la question 1, vu qu'il ne dépend pas de la vitesse, encore une fois ici, rien ne change.

Et T1 (période de la partie 1 en mouvement circulaire autour de la terre), je dirai : (2*pi*Rmin)/V1.


J'ai un léger doute pour l'équation de la trajectoire de la partie 2, ça me paraît un peu trop simple..

Qu'en pensez-vous ?


Merci bien :lol3:.

[Black Jack]

Ok ! .

Et enfin pour ce qui est de la dernière question, la 4. :

Bon j'ai V1 et V2, la partie 1 part en mouvement circulaire, tandis que la 2 poursuis le mouvement elliptique que faisait la fusée entière avant la séparation, du coup :

Pour la partie 2 : l'équation de mouvement est la même que pour la fusée entière il me semble, r(théta) = a(1-e^2)/(1-ecos(théta)). Je pense juste à ré-indiquer théta sur le dessin.

Pour ce qui est des deux temps T1 et T2 disons : T2 = T de la question 1, vu qu'il ne dépend pas de la vitesse, encore une fois ici, rien ne change.

Et T1 (période de la partie 1 en mouvement circulaire autour de la terre), je dirai : (2*pi*Rmin)/V1.


J'ai un léger doute pour l'équation de la trajectoire de la partie 2, ça me paraît un peu trop simple..

Qu'en pensez-vous ?


Merci bien :lol3:.

Avec R = 12000 km

v1²/R = GM/R²
v1 = racine(GM/R) = racine(6,67.10^-11 * 6*10^24/12000000) = 5775 m/s

Conservation de la quantité de mouvement (ou du moment cinétique si on préfère) :
vo = V1 + V2
6656 = (1/2)(5775 + V2)
V2 = 7537 m/s

V2 est la trajectoire du 2eme morceau sera elliptique.

Conservation d'énergie mécanique :
(1/2).v² - GM/d = (1/2).V2² - GM/12000000 (avec d la distance fusée à centre de la Terre à l'autre bout du grand axe de l'ellipse et V la vitesse à cet endroit)
(1/2).v² - (6,67.10^-11*6.10^24)/d = (1/2).7537² - (6,67.10^-11*6.10^24)/12000000

et on a aussi : v.d = 7537 * 12000000 = 9,0444.10^10

(1/2).v² - v.(6,67.10^-11 * 6.10^24)/(9,0444.10^10) = (1/2).7537² - (6,67.10^-11*6.10^24)/12000000

Les solutions de cette équations sont les vitesses aux passages aux extrémités du granf axe de l'ellipse.

on trouve : 7537m/s (vitesse au périhélie, déjà connue) et 1313 m/s (vitesse à l'aphélie)

v.d = 9,0444.10^10
d = 9,0444.10^10/1313 = 68900.10^3 m (68900 km)

Le grand axe de l'ellipse est donc: 2a = 12000 + 68900 = 80900 km




Alkashi :

(80900-r)² = r² + 56900² - 2*r*56900.cos(theta)

80900²- 161800.r = 56900² - 113800 *r .cos(theta)

r = 3,3075.10^9/(161800 - 113800 *r .cos(theta))

r = 20441/(1 - 0,703.cos(theta))

C'est l'équation de l'ellipse parcourue par le morceau 2.
*****
Calcul des périodes.

Se calcule comme si c'était un cercle de diamètre égal au grand axe de l'ellipse (cela se démontre, mais je ne sais plus comment).

4Pi²/T² * a = GM/a²

T = 2.Pi.a.racinecarrée(a/(GM))

avec a = R = 12000.10^3 m pour le morceau qui a une trajectoire circulaire.

avec a = (1/2).80900.10^3 = 4,045.10^7 m

T1 = 2Pi.12000000*racine(12000000/(6,67.10^-11*6.10^24) = 13056 s

T2 = 2Pi.4,045.10^7*racine(4,045.10^7/(6,67.10^-11*6.10^24) = 80800 s
*****
Il y a sûrement d'autres manières de procéder.

Aucun calcul vérifié.

:zen:

[Anonyme]

Re Black Jack :),

Merci beaucoup pour l'explication. Effectivement la trajectoire était bien toujours elliptique, ce qui me paraissait assez logique, seulement elle n'avait pas la même équation.. Je n'avais pas pensé à utiliser la conservation de l'énergie mécanique pour aboutir, c'est astucieux.

Merci encore pour le coup de main. Et merci aussi à Benjamin pour la mise en route de la première question. :lol3:

A bientôt.

###

EDIT : juste deux petites choses :

- Pour la formule du T, oui ça se démontre, en partant de la deuxième loi de Kepler. C'est un peu long, mais on aboutit. (J'utilise la formule déjà prête de toute façon :)).

- Et pour l'équation de la trajectoire, on peut aussi utiliser la formule déjà prête pour l'exercice. Mais ça se retrouve bien avec Al-Kashi en effet.