Mecanique relativiste

[vinch]

bonjour,
j'ai un petit soucis avec un problème de relat restreinte qui me parait pourtant bien simple ... mais je sais pas, je bloque
en réalité je bloque que sur une question, je vous la mets ici :

"Une particule de masse m et de charge q, initialement au repos dans le référentiel du
laboratoire, est accélérée uniformément par un champ électrique E constant dirigé suivant Ox.
1. Résoudre l'équation du mouvement de la particule dans le référentiel du laboratoire en se
plaçant dans le cadre de la dynamique relativiste.
2. Calculer la vitesse v(t) et la position x(t) de la particule en fonction du temps."

j'ai une correction non détaillée que je ne comprends pas,
pour la question 1 ils utilisent la formule : dp/dt=mqE avec p la quantité de monvement relativiste !
et avec ça ils trouvent une vistesse = à v(t) = c * at/ racine(1+(at)^2)

or moi quand je dérive ma quantité de mouvement relativiste je trouve deux termes, et la vitesse qu'ils trouvent est l'intégrale d'un de ces deux termes
enfin je n'en dis pas plus, si quelqu'un saurait me détailler la chose il serai le bienvenu ! merci

[Dominique Lefebvre]

Bonjour,

qu'est-ce que tu notes at dans ta formule?

Il me semble aussi que l'équation de mouvement est plutôt dp/dt = F et donc étant que F = eE (avec e la charge de l'électron et E le champ électrique accélérateur), on aura plutôt dp/dt = eE.

Je ne vois donc pas d'où vient ton "m" dans le membre de droite si tu utilises la différentielle de l'impulsion!

[vinch]

désolé, en effet le m à rien à foutre là j'ai tapé trop vite
sinon a=qE/mc
mon problème principale vient du fait que quand je dérive la quantité de mouvement relativiste, j'ai une expression avec la dérivée de la vitesse et la vitesse elle même, donc je devrais intégrer cette equa diff du premier ordre avec la vitesse à l'intérieur et je n'ai pas l'impression au vue de la correction que le correcteur se soit embêté à faire tout ça ... il y a manifestement quelque chose qui m'échappe .

[Dominique Lefebvre]

Je fais les hypothèses suivantes:
Un référentiel R d'origine O et de t0=0, dont l'axe Ox est colinéaire à E.
E stationnaire et uniforme
v0 = 0 et m = masse au repos de l'électron.
En partant de la définition de l'impulsion dp/dt = qE, je peux écrire:
px = qEt + P0x avec E = ||E||. (1)

A partir de là, il faut ruser en employant l'énergie de l'électron et en se servant de la formule:
v = pc²/[font=Book Antiqua]E[/font] (2)
sachant que [font=Book Antiqua]E[/font] est l'énergie totale de la particule.
Je sais que l'énergie relativiste de l'électron est:
[font=Book Antiqua]E[/font] = racine(m^2*c^4 + c^2*p^2) (3)
En projetant (2) sur Ox, je peux écrire vx(t) = px*c²/[font=Book Antiqua]E [/font][font=Verdana]soit en utilisant (1) et en remarquant que p0x = 0 d'après mes hypothèses:[/font]
vx(t) = qEt*c²/racine(m^2*c^4 + c^2*(qEt)^2) soit en simplifiant:

vx(t) = qEtc/racine((mc)² + (qEt)²)

Tu remarqueras que si v <<< c, on retrouve la formule newtonienne vx(t) = qEt/m

[vinch]

j'ai trouvé peut etre une autre méthode (surement équivalente) grace à ce que t'as écrit et à la correction minimaliste que j'ai ...
je t'en fais part, peux tu me dire ce que tu en penses ?
(désolé je sais pas me servir de latex et je suis en période d'exams je peux pas apprendre aujourd'hui ...)

dp/dt = qE
donc p = qEt (c'est ce que tu as fait et je prends p0=0)
or on sait que p= mv * 1/(racine(1-v^2/c^2)
donc v= qEt/m * racine (1-v^2/c^2) puis je regroupe tous les v ensemble

ce qui me donne v = qEt/m * 1/ racine(1+(qEt/mc)^2)

[Dominique Lefebvre]

j'ai trouvé peut etre une autre méthode (surement équivalente) grace à ce que t'as écrit et à la correction minimaliste que j'ai ...
je t'en fais part, peux tu me dire ce que tu en penses ?
(désolé je sais pas me servir de latex et je suis en période d'exams je peux pas apprendre aujourd'hui ...)

dp/dt = qE
donc p = qEt (c'est ce que tu as fait et je prends p0=0)
or on sait que p= mv * 1/(racine(1-v^2/c^2)
donc v= qEt/m * racine (1-v^2/c^2) puis je regroupe tous les v ensemble

ce qui me donne v = qEt/m * 1/ racine(1+(qEt/mc)^2)

Oui on peut faire comme ça aussi... Mais il faudra que tu expliques tadéfinition de p (=mv ...) . En fait c'est à ce moment que tu fais intervenir la définition de l'énergie relativiste sans le dire. Mais bon, ça peut passer!

pour latex, je suis moi aussi assez hermétique!

Bon courage pour tes exams!