Exercice mécanique de PCSI

[xPingoo]

Bonjour à tous, j'ai un exercice de mécanique à faire, et je ne suis pas sûre de toutes mes réponses, et je ne comprends certaines questions.
Voici l'énoncé :

Cet exercice traite du fonctionnement du microscope à force atomique (AFM)
1ère partie:
Mécaniquement, on représente la pointe A de l'AFM par un pendule élastique, de masse m, à l'extrémité d'un ressort de raideur K et de longueur à vide L0. On repère par x la coordonnée de la pointe selon la verticale descendante.

1.1) Déterminer la position d'équilibre xe de la masse m.
J'ai xe=L0 + mg/k

1.2) Déterminer l'équation différentielle du mouvement.
J'ai x'' + kx/m = k xe/m (x'' = x"point-point")

1.3) En posant X=x-xe, mettre l'équation différentielle sous la forme X'' + oméga0^2 = 0
J'y suis parvenue

1.4) Déterminer la solution générale X(t) sachant à qu'à t=0, x(t=0)=xm+xe et x'(t=0) = 0
J'ai X(t) = xm cos (oméga0 t)

1.5) Représenter l'allure de x(t) = X(t) + xe
1.6) Donner l'équation de la trajectoire de phase
1.7) Tracer alors l'allure de cette trajectoire dans le plan de phase
Ces trois dernières questions, je ne sais pas comment les traiter. Pourriez-vous m'aider?


2ème partie :
Lors de la réalisation de la mesure, les atomes exercent en plus sur la pointe une force atomique Fa qui peut se mettre sous la forme Fa = -alpha v (en vecteurs), où alpha = coefficient de force atomique positif que dépend très fortement de la distance qui sépare la pointe de la surface à analyser.
2.8) Montrer que l'équation différentielle peut désormais se mettre sous la forme X''+ 2lambdaX' + oméga0^2 X = 0
J'y suis parvenue, avec 2lambda = alpha/m et oméga0^2=k/m

C'est à partir d'ici que je commence à coincer.. :
2.9) Définir le facteur de qualité du système
Dois-je donner la formule du facteur de qualité Q? Q=Oméga0/2lambda

2.10) La valeur de alpha dépend de la distance à la surface mais reste très faible, si bien que le mouvement du levier est pseudo-sinusoïdal. Conclure sur la valeur de Q.
J'ai dit que comme le mouvement est pseudo-sinusoïdal, alors on peut l'assimiler à un mouvement pseudo-périodique, et donc Q>1/2. Est-ce cela, et si oui, est-ce suffisant?

2.11) Déterminer l'expression de la solution X(t) en détaillant les étapes de calculs.
Si ma réponse précédente est bonne, j'ai X(t) = xm cos (OMEGA t + Phi)= exp(-lambda t) x [Aexp(-i OMEGA t) + Bexp(i OMEGA t)] dans mon cours, mais je ne vois pas comment faire

2.12) Déterminer la pseudo-période T.
T= 2PI/OMEGA. Est-cela qui est attendu?

2.13) Déterminer T en fonction de To=2PI/oméga0 et Q
J'ai T= To/[(1-1/4G^2)]^1/2
2.14) Expliquer alors le principe de la mesure
Alors là, j'ai aucune idée de quoi répondre...

[Mathusalem]

Yop,
pas le temps de lire la deuxième partie de la question, désolé.

1.5) Tu as déterminé X(t) = xm cos(wot)
Ben, dessines X(t) + xe, i.e le mouvement sinusoidal translaté vers le haut de xe
1.6) La trajectoire de phase s'obtient en mettant la vitesse sur l'abscisse et la position sur l'ordonnée (où l'inverse). Donc c'est les points définis par P = (X(t) + xe, [X(t) + xe] ' )
1.7) Tu dois pouvoir montrer que c'est une ellipse.

Je regarderai le reste quand j'ai le temps.

[xPingoo]

1.5) Tu as déterminé X(t) = xm cos(wot)
Ben, dessines X(t) + xe, i.e le mouvement sinusoidal translaté vers le haut de xe
1.6) La trajectoire de phase s'obtient en mettant la vitesse sur l'abscisse et la position sur l'ordonnée (où l'inverse). Donc c'est les points définis par P = (X(t) + xe, [X(t) + xe] ' )
1.7) Tu dois pouvoir montrer que c'est une ellipse.

Pour la 1.5), je n'ai pas la valeur de xm, je ne vois pas comment la tracer sans
Et comme la 1.6) dépend de la question précédente, je ne peux pas la faire

[Mathusalem]

xm est supposé connu (condition initiale). T'as x(t) = xmcos(..) + xe. xm et xe viennent de la condition initiale donc sont connus. Après tu traces un cosinus d'amplitude xm qui oscille autour de y = xe, faut pas chercher

[xPingoo]

Oui je me prends un peu trop la tête parfois..
Pour la courbe c'est ok :)